O potencial complexo do escoamento de um fluido é dado por
\Omega(z)=V_{0}\left(z+\frac{a^{2}}{z}\right),
(a) Obtenha as equações para as linhas de corrente e as linhas equipotenciais, representando-as graficamente e interpretando-as fisicamente.
(b) Mostre que podemos interpretar o escoamento como um escoamento em torno de um obstáculo circular com raio r=a.
(c) Determine a velocidade em qualquer ponto e determine também o seu valor em pontos distantes do obstáculo.
(d) Determine os pontos de estagnação.

Passo 1

O enunciado dá o potencial complexo de um escoamento bidimensional
\Omega(z)=V_{0}\Bigl(z+\frac{a^{2}}{z}\Bigr),
e pede:
(1) as linhas de corrente ( \psi= const.) e equipotenciais ( \varphi= const.), com interpretação física e esboço;
(2) mostrar que isso equivale a um escoamento em torno de um obstáculo circular de raio a;
(3) a velocidade em qualquer ponto e seu comportamento distante;
(4) os pontos de estagnação.
Vamos usar coordenadas polares z=r e^{i\theta}, lembrando que \Omega=\varphi+i\psi, onde \varphi é o potencial escalar e \psi a função corrente.

Passo 2

Escrevendo z=r e^{i\theta}, temos
\Omega = V_{0}\Bigl(r e^{i\theta} + \frac{a^{2}}{r e^{i\theta}}\Bigr) = V_{0}\Bigl(r+\frac{a^{2}}{r}\Bigr)\cos\theta \;+\; i\,V_{0}\Bigl(r-\frac{a^{2}}{r}\Bigr)\sin\theta.
Portanto as funções real e imaginária são
\varphi(r,\theta) =V_{0}\Bigl(r+\frac{a^{2}}{r}\Bigr)\cos\theta,
\psi(r,\theta) =V_{0}\Bigl(r-\frac{a^{2}}{r}\Bigr)\sin\theta.
Linhas equipotenciais: \varphi(r,\theta)= constante; linhas de corrente: \psi(r,\theta)= constante.
Fisicamente, \psi= constante são as trajetórias do fluido, e \varphi= constante são as superfícies ortogonais a elas.
No esboço, longe do corpo r\gg a as linhas de corrente e equipotenciais aproximam-se de retas paralelas (escoamento uniforme). Perto de r=a, as linhas de corrente contornam o corpo.

Passo 3

Para ver o obstáculo, note que na superfície impermeável a condição é \psi=0. Da expressão de \psi vem
V_{0}\Bigl(r-\frac{a^{2}}{r}\Bigr)\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad r=a \quad\text{ou}\quad \sin\theta=0.
O caso \sin\theta=0 são as linhas de corrente salientes/reentrantes no infinito; já r=a é um contorno fechado que impede penetração. Logo, o escoamento se dá em torno de um cilindro de raio a.

Passo 4

A velocidade complexa é
w(z)=\frac{d\Omega}{dz} =V_{0}\Bigl(1-\frac{a^{2}}{z^{2}}\Bigr).
Em coordenadas polares, com z=r e^{i\theta}, tem-se
w = V_{0}\Bigl(1-\frac{a^{2}}{r^{2}}e^{-2i\theta}\Bigr),
e o módulo da velocidade é
\lvert \mathbf{v}\rvert = \bigl|w\bigr| =V_{0}\sqrt{1-2\frac{a^{2}}{r^{2}}\cos2\theta+\frac{a^{4}}{r^{4}}}.
No limite r\to\infty, o termo \tfrac{a^{2}}{r^{2}} vai a zero, de modo que \lvert\mathbf{v}\rvert\to V_{0}: escoamento uniforme de módulo V_{0}.

Passo 5

Pontos de estagnação ocorrem onde \mathbf{v}=0, isto é w=0:
1-\frac{a^{2}}{z^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad z^{2}=a^{2} \quad\Longrightarrow\quad z=\pm a.
São dois pontos na superfície do cilindro, um a montante z=a e outro a jusante z=-a.

Resposta

(a) Linhas equipotenciais:
\varphi(r,\theta) =V_{0}\Bigl(r+\frac{a^{2}}{r}\Bigr)\cos\theta=\text{const.};
linhas de corrente:
\psi(r,\theta) =V_{0}\Bigl(r-\frac{a^{2}}{r}\Bigr)\sin\theta=\text{const.}.
Grafico qualitativo: retas no infinito, deflexão em torno de r=a.
(b) A condição \psi=0 gera r=a, interpretado como cilindro impermeável de raio a.
(c) Velocidade complexa
w(z)=V_{0}\Bigl(1-\frac{a^{2}}{z^{2}}\Bigr),
módulo
\lvert\mathbf{v}\rvert =V_{0}\sqrt{1-2\frac{a^{2}}{r^{2}}\cos2\theta+\frac{a^{4}}{r^{4}}},
e em r\to\infty, \lvert\mathbf{v}\rvert\to V_{0}.
(d) Pontos de estagnação em z=\pm a.

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