O potencial complexo do escoamento de um fluido é dado por
\Omega(z)=V_{0}\left(z+\frac{a^{2}}{z}\right),
(a) Obtenha as equações para as linhas de corrente e as linhas equipotenciais, representando-as graficamente e interpretando-as fisicamente.
(b) Mostre que podemos interpretar o escoamento como um escoamento em torno de um obstáculo circular com raio r=a.
(c) Determine a velocidade em qualquer ponto e determine também o seu valor em pontos distantes do obstáculo.
(d) Determine os pontos de estagnação.
Passo 1
O enunciado dá o potencial complexo de um escoamento bidimensional
\Omega(z)=V_{0}\Bigl(z+\frac{a^{2}}{z}\Bigr),
e pede:
(1) as linhas de corrente (\psi= const.) e equipotenciais (\varphi= const.), com interpretação física e esboço;
(2) mostrar que isso equivale a um escoamento em torno de um obstáculo circular de raio a;
(3) a velocidade em qualquer ponto e seu comportamento distante;
(4) os pontos de estagnação.
Vamos usar coordenadas polares z=r e^{i\theta}, lembrando que \Omega=\varphi+i\psi, onde \varphi é o potencial escalar e \psi a função corrente.
Linhas equipotenciais: \varphi(r,\theta)= constante; linhas de corrente: \psi(r,\theta)= constante.
Fisicamente, \psi= constante são as trajetórias do fluido, e \varphi= constante são as superfícies ortogonais a elas.
No esboço, longe do corpo r\gg a as linhas de corrente e equipotenciais aproximam-se de retas paralelas (escoamento uniforme). Perto de r=a, as linhas de corrente contornam o corpo.
Passo 3
Para ver o obstáculo, note que na superfície impermeável a condição é \psi=0. Da expressão de \psi vem
O caso \sin\theta=0 são as linhas de corrente salientes/reentrantes no infinito; já r=a é um contorno fechado que impede penetração. Logo, o escoamento se dá em torno de um cilindro de raio a.
Grafico qualitativo: retas no infinito, deflexão em torno de r=a.
(b) A condição \psi=0 gera r=a, interpretado como cilindro impermeável de raio a.
(c) Velocidade complexa