Discuta a posição relativa das retas r: 2 m x+m y-5=0 e s: 3 m x+3 y+m=0 em função de m. { }^{15}

Passo 1

O problema dá duas retas dependentes do parâmetro m:
r: 2m\,x + m\,y - 5 = 0
s: 3m\,x + 3\,y + m = 0
Queremos discutir, em função de m, quando elas são coincidentes, paralelas ou concorrentes. Para isso vamos:
  1. Verificar se alguma equação fica degenerada (não define reta).
  2. Para m\neq0, pôr cada reta na forma y=mx+b para achar os coeficientes angulares.
  3. Comparar esses coeficientes e os termos independentes.

Passo 2

Verifiquemos primeiro o caso m=0:
- Em r temos 2\cdot0\,x + 0\cdot y -5 = -5 = 0, que é impossível. Logo r deixa de ser reta.
- Em s temos 3\cdot0\,x +3\,y +0 = 3y = 0, ou seja y=0, que é uma reta.
Conclusão para m=0: a reta r não existe (equação inconsistente) e s é y=0.

Passo 3

Agora consideremos m\neq0. Isolamos y em cada reta:
Em r:
2m\,x + m\,y -5 = 0\implies m\,(2x+y)=5\implies y = -2x + \frac{5}{m}.
Coeficiente angular de r é
m_r = -2.
Em s:
3m\,x + 3\,y + m = 0\implies 3y = -3m\,x - m\implies y = -m\,x - \frac{m}{3}.
Coeficiente angular de s é
m_s = -m.

Passo 4

Para que as retas sejam paralelas, basta m_r = m_s, isto é
-2 = -m \quad\Longrightarrow\quad m = 2.
Quando m\neq2, tem-se m_r \neq m_s e as retas se cortam num ponto (concorrentes).

Passo 5

No caso m=2, ambas têm coeficiente angular -2. Para serem coincidentes, também precisariam ter termos independentes proporcionais. Em r o termo independente (intercepto em y) é \tfrac{5}{2} e em s é -\tfrac{2}{3}. Como
\frac{5}{2}\neq -\frac{2}{3},
elas não coincidem; são apenas paralelas e distintas.

Resposta

Para m=0: r não é reta (equação inconsistente) e s é y=0.
Para m\neq0:
- Se m=2, r e s são paralelas e distintas.
- Se m\neq2, r e s são concorrentes (cortam-se em exatamente um ponto).

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