Questão (1(4,0)) : Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n+1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n+1}{n^{2}}
é convergente ou divergente, sem usar o teste da razão ou da raiz. O conteúdo relevante aqui é o Teste da Série Alternante (ou Leibniz): se os termos positivos \,a_{n}=\tfrac{n+1}{n^{2}} tendem a zero e são monótonos decrescentes a partir de algum N, então a série alternante converge.

Passo 2

Definimos o termo positivo
a_{n}=\frac{n+1}{n^{2}}=\frac{n}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}.
Primeiro, verificamos o limite de a_{n} quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\Bigr) =0+0=0.

Passo 3

Agora mostramos que a_{n} é decrescente a partir de certo n. Considere a função contínua
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}},\quad x\ge1.
Calculamos a derivada:
f'(x) =\frac{(1)\,x^{2}-(x+1)\,2x}{x^{4}} =\frac{x^{2}-2x^{2}-2x}{x^{4}} =\frac{-x^{2}-2x}{x^{4}} =-\frac{x+2}{x^{3}}<0 \quad\text{para todo }x\ge1.
Logo f é estritamente decrescente em [1,\infty), e portanto a sequência a_{n}=f(n) também é decrescente.

Passo 4

Como \,a_{n}\ge0, \,a_{n}\searrow0 e o sinal alterna em (-1)^{n+1}, pelo Teste de Leibniz a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_{n}
converge.

Passo 5

Para verificar se é convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n+1}\tfrac{n+1}{n^{2}}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^{2}} =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\Bigr).
Sabemos que \sum 1/n diverge (série harmônica) e \sum1/n^{2} converge, mas como a parte \sum1/n domina, a soma diverge. Logo não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas diverge em valor absoluto).

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