Questão (1(4,0)) : Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n+1}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n+1}{n^{2}}
é convergente ou divergente, sem usar o teste da razão ou da raiz. O conteúdo relevante aqui é o Teste da Série Alternante (ou Leibniz): se os termos positivos \,a_{n}=\tfrac{n+1}{n^{2}} tendem a zero e são monótonos decrescentes a partir de algum N, então a série alternante converge.
Sabemos que \sum 1/n diverge (série harmônica) e \sum1/n^{2} converge, mas como a parte \sum1/n domina, a soma diverge. Logo não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas diverge em valor absoluto).