Questão (1(4,0)) : Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{2}}
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar, sem usar o teste da razão ou raiz, se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é séries numéricas e o teste da integral, que compara a série a uma integral imprópria de uma função contínua, positiva e decrescente.
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é séries numéricas e o teste da integral, que compara a série a uma integral imprópria de uma função contínua, positiva e decrescente.
Passo 2
Definimos a função
Para aplicar o teste da integral, precisamos que
e decrescente em
. Claramente
para
. A derivada é
Como para
temos
, segue
e logo
. Assim
é decrescente em
.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral avaliando
Fazendo integração por partes com
e
, resulta
que é finito.
Passo 4
Como a integral imprópria converge, o teste da integral implica que a série
também converge.
também converge.
Resposta
A série é convergente.