Questão (1(4,0)) : Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar, sem usar o teste da razão ou raiz, se a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^{2}}
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é séries numéricas e o teste da integral, que compara a série a uma integral imprópria de uma função contínua, positiva e decrescente.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = \frac{\ln(x)}{x^{2}},\quad x\ge2.
Para aplicar o teste da integral, precisamos que f(x)>0 e decrescente em [2,\infty). Claramente f(x)>0 para x\ge2. A derivada é
f'(x) = \frac{1-2\ln(x)}{x^{3}}.
Como para x\ge2 temos 2\ln(x)\ge2\ln(2)>1, segue 1-2\ln(x)<0 e logo f'(x)<0. Assim f é decrescente em [2,\infty).

Passo 3

Aplicamos o teste da integral avaliando
\int_{2}^{\infty} \frac{\ln(x)}{x^{2}}\,dx.
Fazendo integração por partes com u=\ln(x) e dv=x^{-2}dx, resulta
\int_{2}^{\infty} \frac{\ln(x)}{x^{2}}\,dx = \Bigl[-\tfrac{\ln(x)}{x}-\tfrac{1}{x}\Bigr]_{2}^{\infty} = 0 - \Bigl(-\tfrac{\ln(2)}{2}-\tfrac{1}{2}\Bigr) = \frac{\ln(2)+1}{2},
que é finito.

Passo 4

Como a integral imprópria converge, o teste da integral implica que a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^{2}}
também converge.

Resposta

A série é convergente.

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