Discuta a relação entre o princípio da mínima energia e a estabilidade dos equilíbrios em sistemas físicos. Dê um exemplo de equilíbrio estável e outro de equilíbrio instável.

Passo 1

O enunciado pede para relacionar o princípio da mínima energia com a estabilidade de equilíbrios em sistemas físicos e depois dar um exemplo de equilíbrio estável e outro de equilíbrio instável. O conteúdo envolvido é mecânica clássica (energia potencial), onde pontos de equilíbrio são dados por V'(q)=0 e sua estabilidade é verificada pelo sinal de V''(q).

Passo 2

Em sistemas conservativos descritos por uma energia potencial V(q), um ponto q_0 é equilíbrio se
V'(q_0)=0.
O princípio da mínima energia afirma que, em condições estáticas, o sistema tende a se assentar em pontos onde V(q) seja mínimo local, pois essas configurações minimizam a energia total.

Passo 3

Para classificar a estabilidade de q_0 usamos o teste de segunda derivada:
  • Se
V''(q_0)>0,
então q_0 é um mínimo local de V e o equilíbrio é estável (pequenas perturbações geram oscilações ao redor de q_0).
  • Se
V''(q_0)<0,
então q_0 é um máximo local de V e o equilíbrio é instável (qualquer pequena perturbação faz o sistema se afastar de q_0).

Passo 4

Exemplos clássicos:
Equilíbrio estável: massa presa a uma mola ideal com constante k>0. A energia potencial é
V(x)=\tfrac12\,k\,x^2,
que tem V'(0)=0 e V''(0)=k>0. A massa oscila em torno de x=0.
Equilíbrio instável: pêndulo invertido fixo no pivô. A energia potencial vale
V(\theta)=m g L\bigl(1+\cos\theta\bigr),
onde \theta=\pi (vertical invertido) satisfaz V'(\pi)=0 mas
V''(\pi)=-m g L<0,
logo qualquer pequena perturbação faz o pêndulo cair.

Resposta

Exemplo de equilíbrio estável: massa-mola em x=0 com V(x)=\tfrac12kx^2.
Exemplo de equilíbrio instável: pêndulo invertido em \theta=\pi com V(\theta)=mgL(1+\cos\theta).

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