Discuta a relação entre o princípio da mínima energia e a estabilidade dos equilíbrios em sistemas físicos. Dê um exemplo de equilíbrio estável e outro de equilíbrio instável.
Passo 1
O enunciado pede para relacionar o princípio da mínima energia com a estabilidade de equilíbrios em sistemas físicos e depois dar um exemplo de equilíbrio estável e outro de equilíbrio instável. O conteúdo envolvido é mecânica clássica (energia potencial), onde pontos de equilíbrio são dados por
e sua estabilidade é verificada pelo sinal de
.
Passo 2
Em sistemas conservativos descritos por uma energia potencial
, um ponto
é equilíbrio se
O princípio da mínima energia afirma que, em condições estáticas, o sistema tende a se assentar em pontos onde
seja mínimo local, pois essas configurações minimizam a energia total.
Passo 3
Para classificar a estabilidade de
usamos o teste de segunda derivada:
- Se
então
é um mínimo local de
e o equilíbrio é estável (pequenas perturbações geram oscilações ao redor de
).
- Se
então
é um máximo local de
e o equilíbrio é instável (qualquer pequena perturbação faz o sistema se afastar de
).
Passo 4
Exemplos clássicos:
– Equilíbrio estável: massa presa a uma mola ideal com constante . A energia potencial é
– Equilíbrio estável: massa presa a uma mola ideal com constante
que tem
e
. A massa oscila em torno de
.
– Equilíbrio instável: pêndulo invertido fixo no pivô. A energia potencial vale
– Equilíbrio instável: pêndulo invertido fixo no pivô. A energia potencial vale
onde
(vertical invertido) satisfaz
mas
logo qualquer pequena perturbação faz o pêndulo cair.
Resposta
Exemplo de equilíbrio estável: massa-mola em
com
.
Exemplo de equilíbrio instável: pêndulo invertido em com
.
Exemplo de equilíbrio instável: pêndulo invertido em