O método de Hamilton é uma reformulação do princípio da mínima ação. Explique como se obtém as equações de Hamilton a partir da função Lagrangiana.

Passo 1

O objetivo é partir da formulação lagrangiana, em que temos a função Lagrangiana
L = L\bigl(q_i,\dot q_i,t\bigr),
definida em espaço de posições q_i e velocidades \dot q_i, e chegar às equações de Hamilton. Para isso vamos usar a definição de momento conjugado e a transformação de Legendre que leva de L para a função Hamiltoniana H.

Passo 2

Definimos o momento conjugado p_i associado a cada coordenada q_i como
p_i \;=\;\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}.
Esse passo usa a teoria de sistemas lagrangianos: cada grau de liberdade gera um momento conjugado. Pressupomos que a matriz \bigl(\partial^2 L/\partial\dot q_i\partial\dot q_j\bigr) seja invertível (Lagrangiana regular), para que possamos resolver \dot q_i em função de (q,p,t).

Passo 3

Construímos a função Hamiltoniana H por meio da transformação de Legendre:
H(q_i,p_i,t) =\sum_{i}p_i\,\dot q_i \;-\;L(q_i,\dot q_i,t),
onde entende-se que em H substituímos \dot q_i pela expressão \dot q_i(q,p,t) obtida invertendo a relação p_i=\partial L/\partial\dot q_i. Assim H é função de (q,p,t), sem depender explicitamente das \dot q_i.

Passo 4

Para obter as equações de movimento, computamos a diferencial total de H de duas maneiras.
  1. Usando a definição de H:
dH = \sum_i p_i\,d\dot q_i + \sum_i\dot q_i\,dp_i - \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\,dq_i - \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\,d\dot q_i - \frac{\partial L}{\partial t}\,dt.
Como \partial L/\partial\dot q_i=p_i, os termos em d\dot q_i se cancelam, ficando
dH = \sum_i\dot q_i\,dp_i - \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\,dq_i - \frac{\partial L}{\partial t}\,dt.
  1. Por outro lado, sendo H=H(q,p,t), também vale
dH = \sum_i\frac{\partial H}{\partial q_i}\,dq_i + \sum_i\frac{\partial H}{\partial p_i}\,dp_i + \frac{\partial H}{\partial t}\,dt.
Comparando os dois resultados e usando as equações de Euler–Lagrange
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\Bigr) =\frac{\partial L}{\partial q_i},
vemos que os coeficientes de dq_i, de dp_i e de dt devem coincidir, o que gera
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i = -\,\frac{\partial H}{\partial q_i}, \qquad \frac{\partial H}{\partial t} = -\,\frac{\partial L}{\partial t}.

Resposta

As equações de Hamilton obtidas a partir de L(q_i,\dot q_i,t) são
\boxed{ \dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i = -\,\frac{\partial H}{\partial q_i} }
com
H(q,p,t)=\sum_i p_i\,\dot q_i - L(q,\dot q,t),
onde \dot q_i é eliminada em favor de (q,p,t) via p_i=\partial L/\partial\dot q_i.

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