O método de Hamilton é uma reformulação do princípio da mínima ação. Explique como se obtém as equações de Hamilton a partir da função Lagrangiana.
Passo 1
O objetivo é partir da formulação lagrangiana, em que temos a função Lagrangiana
definida em espaço de posições
e velocidades
, e chegar às equações de Hamilton. Para isso vamos usar a definição de momento conjugado e a transformação de Legendre que leva de
para a função Hamiltoniana
.
Passo 2
Definimos o momento conjugado
associado a cada coordenada
como
Esse passo usa a teoria de sistemas lagrangianos: cada grau de liberdade gera um momento conjugado. Pressupomos que a matriz
seja invertível (Lagrangiana regular), para que possamos resolver
em função de
.
Passo 3
Construímos a função Hamiltoniana
por meio da transformação de Legendre:
onde entende-se que em
substituímos
pela expressão
obtida invertendo a relação
. Assim
é função de
, sem depender explicitamente das
.
Passo 4
Para obter as equações de movimento, computamos a diferencial total de
de duas maneiras.
- Usando a definição de
:
Como
, os termos em
se cancelam, ficando
- Por outro lado, sendo
, também vale
Comparando os dois resultados e usando as equações de Euler–Lagrange
vemos que os coeficientes de
, de
e de
devem coincidir, o que gera
Resposta
As equações de Hamilton obtidas a partir de
são
com
onde
é eliminada em favor de
via
.