Considere uma partícula em queda livre. Mostre que o caminho retilíneo vertical é a trajetória real ao aplicar o princípio da mínima ação.
Passo 1
O enunciado pede para usar o princípio da mínima ação numa partícula sujeita apenas à gravidade uniforme (queda livre) e mostrar que o caminho resultante é um movimento retilíneo vertical. O conteúdo de matéria envolvido é Mecânica Analítica (Lagrangeano e equações de Euler–Lagrange). Vamos precisar:
- Escrever o Lagrangiano
, com energia cinética e potencial gravitacional. - Aplicar as equações de Euler–Lagrange para as coordenadas
, e . - Impor as condições de contorno (posições iniciais e finais fixas) para concluir que não há movimento horizontal e que a trajetória no eixo
satisfaz horizontal e .
Passo 2
A energia cinética da partícula de massa
é
e o potencial gravitacional é
com
aceleracão da gravidade e eixo
vertical ascendente. Assim o Lagrangiano é
Passo 3
Aplicamos Euler–Lagrange em
:
Isto implica
, logo
constante. Mas como as posições
e
estão fixas e iguais (não se deseja deslocamento horizontal), essa constante deve ser zero. Portanto
O mesmo raciocínio vale para
, dando
e
constante.
Passo 4
Agora Euler–Lagrange em
:
Integrando com as condições de contorno
e
, obtemos a função
típica de queda livre
com
ajustado para atingir
em
.
Passo 5
Como
, o movimento ocorre apenas na direção
. Logo, a trajetória espacial é um segmento de reta vertical unindo
a
. Esse é exatamente o caminho real que torna a ação estacionária.
Resposta
Mostrou-se que, pelas equações de Euler–Lagrange, não há deslocamento horizontal
e que
satisfaz
. Portanto, o caminho de mínima ação é o retilíneo vertical.