Considere uma partícula em queda livre. Mostre que o caminho retilíneo vertical é a trajetória real ao aplicar o princípio da mínima ação.

Passo 1

O enunciado pede para usar o princípio da mínima ação numa partícula sujeita apenas à gravidade uniforme (queda livre) e mostrar que o caminho resultante é um movimento retilíneo vertical. O conteúdo de matéria envolvido é Mecânica Analítica (Lagrangeano e equações de Euler–Lagrange). Vamos precisar:
  1. Escrever o Lagrangiano L=T-V, com T energia cinética e V potencial gravitacional.
  2. Aplicar as equações de Euler–Lagrange para as coordenadas x(t), y(t) e z(t).
  3. Impor as condições de contorno (posições iniciais e finais fixas) para concluir que não há movimento horizontal e que a trajetória no eixo z satisfaz ẍ=0 horizontal e ẍ_z=-g.

Passo 2

A energia cinética da partícula de massa m é
T = \tfrac{1}{2}m\bigl(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2\bigr)
e o potencial gravitacional é
V = m g z,
com g aceleracão da gravidade e eixo z vertical ascendente. Assim o Lagrangiano é
L = T - V = \tfrac{1}{2}m\bigl(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2\bigr) - m g z.

Passo 3

Aplicamos Euler–Lagrange em x:
\frac{d}{dt}\Bigl(\pd{L}{\dot x}\Bigr) - \pd{L}{x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad m\ddot x = 0.
Isto implica \ddot x=0, logo \dot x= constante. Mas como as posições x(t_1) e x(t_2) estão fixas e iguais (não se deseja deslocamento horizontal), essa constante deve ser zero. Portanto
\dot x(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad x(t)=\text{constante}.
O mesmo raciocínio vale para y(t), dando \dot y=0 e y(t)= constante.

Passo 4

Agora Euler–Lagrange em z:
\frac{d}{dt}\Bigl(\pd{L}{\dot z}\Bigr) - \pd{L}{z} = 0 \quad\Longrightarrow\quad m\ddot z + m g = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot z = -\,g.
Integrando com as condições de contorno z(t_1)=z_1 e z(t_2)=z_2, obtemos a função z(t) típica de queda livre
z(t) = z_1 + v_{z1}\,(t - t_1) - \tfrac12\,g\,(t - t_1)^2,
com v_{z1} ajustado para atingir z_2 em t_2.

Passo 5

Como \dot x=\dot y=0, o movimento ocorre apenas na direção z. Logo, a trajetória espacial é um segmento de reta vertical unindo (x_1,y_1,z_1) a (x_1,y_1,z_2). Esse é exatamente o caminho real que torna a ação estacionária.

Resposta

Mostrou-se que, pelas equações de Euler–Lagrange, não há deslocamento horizontal \dot x=\dot y=0 e que z(t) satisfaz \ddot z=-g. Portanto, o caminho de mínima ação é o retilíneo vertical.

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