Discuta, segundo o parâmetro m, os seguintes sistemas lineares:
S_{1}=\left\{\begin{array}{c}x+y+z=0 \\\ x-y+m z=2 \\\ m x+2 y+z=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para discutir, em função do parâmetro m, o sistema linear
S_{1}:\begin{cases} x+y+z=0,\\\ x-y+m\,z=2,\\\ m\,x+2y+z=-1. \end{cases}
O conteúdo aqui é análise de sistema linear com parâmetro, usando determinante da matriz de coeficientes para identificar quando o sistema é compatível determinado, e, nos casos singulares, verificar a consistência pelas equações.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & m\\\ m & 2 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante por expansão:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & m\\\ 2 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & m\m & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\m & 2\end{pmatrix} =m(m-1).

Passo 3

Se \det(A)\neq0, isto é, m\neq0 e m\neq1, o sistema é compatível determinado. Resolvendo por eliminação, obtém-se
x=-\frac{1}{m},\quad y=-\frac{1}{m},\quad z=\frac{2}{m}.

Passo 4

Para m=0 temos \det(A)=0. Substituindo m=0 no sistema, das duas primeiras equações vem x=y+2 e z=-2-2y, mas a terceira dá
2y+z=-1\;\Longrightarrow\;-2=-1,
contradição. Logo, para m=0 o sistema é incompatível (sem solução).

Passo 5

Para m=1 também \det(A)=0. Substituindo m=1, das primeiras duas equações obtemos y=-1 e, com isso, x+z=1. A terceira fica idêntica a essa, então há infinitas soluções:
y=-1,\quad x+z=1\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x=1-t,\\\ z=t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Para m\neq0,1 o sistema é compatível determinado, com solução
(x,y,z)=\Bigl(-\tfrac1m,-\tfrac1m,\tfrac2m\Bigr).
Para m=0 o sistema é incompatível (sem solução).
Para m=1 o sistema é compatível indeterminado, com infinitas soluções dadas por
y=-1,\quad x+z=1\quad(t\in\mathbb R).

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