Discuta, segundo o parâmetro m, os seguintes sistemas lineares:
S_{2}=\left\{\begin{array}{c}m x+y-z=4 \\\ x+m y+2 z=0 \\\ y-z=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear dependente do parâmetro m:
S_{2}:\quad \begin{cases} m x + y - z = 4,\\\ x + m y + 2z = 0,\\\ y - z = 2. \end{cases}
O conteúdo aqui é discussão de sistema linear segundo um parâmetro, usando eliminação de Gauss para verificar existência e unicidade de solução.

Passo 2

Da terceira equação
y - z = 2
isolamos y em função de z:
y = z + 2.

Passo 3

Substituindo y=z+2 na primeira equação
m x + (z+2) - z = 4
fica
m x + 2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad m x = 2.
Se m\neq 0, então
x = \frac{2}{m}.
Se m=0, a equação reduz a 2=4, impossível, logo para m=0 não há solução.

Passo 4

Para m\neq 0, substituímos x=\tfrac{2}{m} e y=z+2 na segunda equação
\frac{2}{m} + m\,(z+2) + 2z = 0.
Multiplicando por m e agrupando termos em z,
2 + m^2 z + 2m + 2mz = 0 \;\Longrightarrow\; z\,(m^2 + 2m) = -2m - 2 \;\Longrightarrow\; z = \frac{-2(m^2+1)}{m\,(m+2)}.
Aqui o denominador m(m+2) não pode ser zero. Já excluímos m=0; resta m=-2, que tornaria o segundo passo impossível e, ao checar diretamente no sistema, gera contradição. Então para m=-2 também não há solução.

Passo 5

Concluímos:
  • Se m=0 ou m=-2, o sistema é inconsistente (não tem solução).
  • Para todo outro m, obtemos única solução
x = \frac{2}{m},\quad z = \frac{-2\,(m^2+1)}{m\,(m+2)},\quad y = z + 2.

Resposta

Para m=0 ou m=-2, não há solução.
Para m\neq 0 e m\neq -2, existe única solução dada por
x = \frac{2}{m},\quad z = \frac{-2\,(m^2+1)}{m\,(m+2)},\quad y = z + 2.

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