Exercício 27. Estude a posição relativa entre
e
.
(4)
e
(4)
Passo 1
O enunciado dá:
- A reta
na forma paramétrica: , onde é o parâmetro real. - O plano
pela equação cartesiana: .
O que se pede: estudar a posição relativa entre
e
; ou seja, determinar se a reta é paralela ao plano, se está contida no plano, ou se intersecta o plano (e, neste caso, encontrar o ponto de interseção).
Passo 2
Vou extrair as informações vetoriais que vamos usar:
- Um ponto da reta
é (é o termo independente da forma paramétrica). - O vetor diretor da reta é
(é o vetor multiplicando ). - Um vetor normal ao plano
pode ser lido da equação . Coeficientes de formam .
Aqui:
indica a direção da reta;
é perpendicular ao plano.
Passo 3
Regra prática (explicando o porquê):
- O produto escalar (ou dot product) entre
e mede a componente de na direção de . - Se
, então é perpendicular a , isto é, é paralelo ao plano. Nesse caso a reta pode ser paralela ao plano ou estar contida nele (para distinguir é preciso testar se algum ponto da reta satisfaz a equação do plano). - Se
, então a reta corta o plano em exatamente um ponto (pois a direção da reta tem componente na direção normal do plano).
Fórmula do produto escalar para vetores
e
:
Passo 4
Calcular o produto escalar
:
Como
, concluímos que a reta não é paralela ao plano e, portanto, deve intersectar o plano em exatamente um ponto.
Passo 5
Para encontrar o ponto de interseção, escrevo as coordenadas paramétricas da reta
:
Agora imponho que essas coordenadas satisfaçam a equação do plano
. Substituindo:
Passo 6
Resolver a equação para
:
Logo
Passo 7
Com
obtenho o ponto de interseção substituindo nas coordenadas paramétricas:
Portanto o ponto é
.
Verificação rápida (checar que o ponto realmente pertence ao plano):
que satisfaz a equação do plano, confirmação completa.
Passo 8
Interpretação final: a reta
corta o plano
em um único ponto; não é paralela nem contida no plano.
Resposta
A reta
intersecta o plano
em um único ponto:
.