Exercício 27. Estude a posição relativa entre r e \pi.
(4) r: X=(1,1,0)+\lambda(0,1,1) e \pi: x-y-z=2

Passo 1

O enunciado dá:
  • A reta r na forma paramétrica: \;X=(1,1,0)+\lambda(0,1,1), onde \lambda é o parâmetro real.
  • O plano \pi pela equação cartesiana: \;x-y-z=2.
O que se pede: estudar a posição relativa entre r e \pi; ou seja, determinar se a reta é paralela ao plano, se está contida no plano, ou se intersecta o plano (e, neste caso, encontrar o ponto de interseção).

Passo 2

Vou extrair as informações vetoriais que vamos usar:
  • Um ponto da reta r é P_0=(1,1,0) (é o termo independente da forma paramétrica).
  • O vetor diretor da reta é \mathbf{v}=(0,1,1) (é o vetor multiplicando \lambda).
  • Um vetor normal ao plano \pi pode ser lido da equação \;x-y-z=2. Coeficientes de x,y,z formam \mathbf{n}=(1,-1,-1).
Aqui: \mathbf{v} indica a direção da reta; \mathbf{n} é perpendicular ao plano.

Passo 3

Regra prática (explicando o porquê):
  • O produto escalar (ou dot product) entre \mathbf{n} e \mathbf{v} mede a componente de \mathbf{v} na direção de \mathbf{n}.
  • Se \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0, então \mathbf{v} é perpendicular a \mathbf{n}, isto é, \mathbf{v} é paralelo ao plano. Nesse caso a reta pode ser paralela ao plano ou estar contida nele (para distinguir é preciso testar se algum ponto da reta satisfaz a equação do plano).
  • Se \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}\neq 0, então a reta corta o plano em exatamente um ponto (pois a direção da reta tem componente na direção normal do plano).
Fórmula do produto escalar para vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3):
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=(1,-1,-1)\cdot(0,1,1)=1\cdot0+(-1)\cdot1+(-1)\cdot1=0-1-1=-2.
Como \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=-2\neq0, concluímos que a reta não é paralela ao plano e, portanto, deve intersectar o plano em exatamente um ponto.

Passo 5

Para encontrar o ponto de interseção, escrevo as coordenadas paramétricas da reta r:
x=1+0\lambda=1,\qquad y=1+\lambda,\qquad z=0+\lambda=\lambda.
Agora imponho que essas coordenadas satisfaçam a equação do plano \;x-y-z=2. Substituindo:
1-(1+\lambda)-\lambda=2.

Passo 6

Resolver a equação para \lambda:
1-(1+\lambda)-\lambda=2 \quad\Rightarrow\quad 1-1-\lambda-\lambda=2 \quad\Rightarrow\quad -2\lambda=2.
Logo
\lambda=-1.

Passo 7

Com \lambda=-1 obtenho o ponto de interseção substituindo nas coordenadas paramétricas:
x=1,\qquad y=1+(-1)=0,\qquad z=-1.
Portanto o ponto é \,(1,0,-1).
Verificação rápida (checar que o ponto realmente pertence ao plano):
x-y-z = 1-0-(-1)=1+1=2,
que satisfaz a equação do plano, confirmação completa.

Passo 8

Interpretação final: a reta r corta o plano \pi em um único ponto; não é paralela nem contida no plano.

Resposta

A reta r intersecta o plano \pi em um único ponto: (1,0,-1).

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