Discuta sobre a continuidade de cada função:
f(x)=x \sqrt{x+3}

Passo 1

Resumindo, temos duas funções para analisar:
  1. f(x)=x\sqrt{x+3}
  2. a função g cujo gráfico apresenta três ramos e assíntotas verticais em x=-2 e x=2 (linhas tracejadas).
Vamos determinar o domínio de cada uma, verificar onde estão definidas e checar possíveis pontos de descontinuidade.

Passo 2

Para f(x)=x\sqrt{x+3} a condição de existência da raiz quadrada é
x+3\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge -3.
Logo o domínio de f é [-3,\infty).
– A função identidade x é contínua em \mathbb{R}.
– A função \sqrt{x+3} é contínua em [-3,\infty).
Como o produto de funções contínuas é contínuo, f é contínua em todo o intervalo (-3,\infty).
No ponto de borda x=-3 temos
\sqrt{-3+3}=0,\quad f(-3)=-3\cdot0=0,
e a raiz quadrada continua bem-comportada em 0. Portanto f também é contínua em x=-3.

Passo 3

Na função g do gráfico, identificamos que ela só está definida em três intervalos separados por assíntotas verticais em x=-2 e x=2:
(-\infty,-2),\quad(-2,2),\quad(2,\infty).
Em cada um desses intervalos o traçado é uma curva sem quebras, o que indica continuidade nesses trechos.
Nos pontos x=-2 e x=2 a função não está definida e os valores de y tendem a \pm\infty, caracterizando descontinuidades do tipo infinita

Resposta

f é contínua em [-3,\infty).
A função do gráfico é contínua apenas em (-\infty,-2), (-2,2) e (2,\infty), e apresenta descontinuidade infinita em x=-2 e x=2.

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