Discuta a veracidade das afirmações abaixo, justificando cada resposta com argumentos algébricos e geométricos.
Em sua resposta, procure explicitar não apenas o que é verdadeiro ou falso, mas por que certas formas algébricas funcionam e outras falham em casos específicos.
Toda reta do plano pode ser escrita na forma reduzida y=m x+n.

Passo 1

O enunciado é uma única afirmação a ser verificada: “Toda reta do plano pode ser escrita na forma reduzida \,y=m x+n\,.”
Informações relevantes dadas (o que a afirmação envolve):
  • A forma reduzida citada é \,y=m x+n\,, onde m e n são números reais supostos constantes da reta.
  • Precisamos decidir se toda reta do plano pode ser descrita por essa fórmula, e justificar algebraica e geometricamente.
  • Não há outros dados numéricos; a tarefa é uma discussão geral sobre todas as retas do plano.

Passo 2

Apresentar a forma algébrica mais geral e mostrar quando se obtém \,y=mx+n.
Uma forma geral para uma reta é
a x + b y + c = 0,
onde a,b,c\in\mathbb{R} e não se tem a=b=0 (isso impediria ser reta). Essa é uma descrição que vale para qualquer reta do plano.
Se b\neq 0, resolve-se a equação para y:
a x + b y + c = 0 \quad\Longrightarrow\quad b y = -a x - c \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{a}{b}\,x - \frac{c}{b}.
Logo, sempre que b\neq 0 a reta pode ser escrita na forma \,y=m x+n\, com
m = -\frac{a}{b},\qquad n = -\frac{c}{b}.
Isto é um argumento algébrico direto: a forma geral transforma-se em forma reduzida exatamente quando o coeficiente de y é não nulo.

Passo 3

Exibir o caso que falha: quando b=0.
Se b=0 na forma geral, a equação fica
a x + c = 0.
Supondo a\neq 0 (pois a=b=0 não é reta), isso dá
x = -\frac{c}{a} =: k,
ou seja, a reta é a vertical x=k. Algebraicamente não é possível isolar y nessa equação: não existe expressão do tipo y = m x + n que gere todos os pares (k,y) com y variando livremente. Para ver a contradição de forma direta, suponha que exista m,n tais que a reta vertical x=k é \{(x,y):y=m x+n\}. Então para os pontos (k,y_1) e (k,y_2) da reta teria
y_1 = m k + n \quad\text{e}\quad y_2 = m k + n,
logo y_1 = y_2, o que não pode ser (a reta vertical contém pontos com a mesma abscissa k e alturas y diferentes). Portanto nenhuma reta vertical pode ser escrita como y=mx+n.

Passo 4

Interpretação geométrica (por que, geometricamente, há falha).
A forma \,y=mx+n\, expressa a reta por um coeficiente angular m (a inclinação): m mede a razão "variação de y" sobre "variação de x" (o famoso “rise/run”). Geometricamente, m é a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x. Para uma reta vertical, a variação em x entre dois pontos quaisquer é zero, então a razão \Delta y/\Delta x não está definida (divisão por zero) — diz-se que a inclinação é “infinita” ou “indefinida”. A forma y=mx+n pressupõe uma inclinação finita; por isso falha para retas verticais.

Passo 5

Outras formas que cobrem todos os casos (dica prática para prova).
  • Forma geral a x + b y + c = 0\) com \((a,b)\neq(0,0)\) representa qualquer reta (inclusive verticais, quando \(b=0\)). - Forma paramétrica / vetorial: escolha um ponto \((x_0,y_0)\) da reta e um vetor diretor \((u_x,u_y)\neq(0,0)\). Então toda reta é \[\begin{cases} x = x_0 + t\,u_x,\\[4pt] y = y_0 + t\,u_y, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.
Essa representação funciona para qualquer reta: por exemplo, reta vertical x=k\] toma \(x=x_0=k,\\ y=y_0+t (com u_x=0,\\ u_y=1).
  • Cálculo de inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2): se x_2\neq x_1,
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Se x_2=x_1 então a reta é vertical e não existe m real.
Na prova: sempre que receber uma equação na forma a x + b y + c = 0 verifique b=0 (caso vertical) antes de passar para y=mx+n.]

Passo 6

Exemplos concretos (para fixar):
  • Reta não vertical: 2x+3y-6=0 tem b=3\neq0; isola-se y:
y = -\frac{2}{3}x + 2,
então é da forma y=mx+n.
  • Reta vertical: 4x-8=0 x=2. Não existe m,n tais que y=m x+n descreva todos (2,y).

Resposta

Falso

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