Discuta a veracidade das afirmações abaixo, justificando cada resposta com argumentos algébricos e geométricos.
Em sua resposta, procure explicitar não apenas o que é verdadeiro ou falso, mas por que certas formas algébricas funcionam e outras falham em casos específicos.
Toda reta do plano pode ser escrita na forma reduzida
.
Toda reta do plano pode ser escrita na forma reduzida
Passo 1
O enunciado é uma única afirmação a ser verificada: “Toda reta do plano pode ser escrita na forma reduzida
.”
Informações relevantes dadas (o que a afirmação envolve):
- A forma reduzida citada é
, onde e são números reais supostos constantes da reta. - Precisamos decidir se toda reta do plano pode ser descrita por essa fórmula, e justificar algebraica e geometricamente.
- Não há outros dados numéricos; a tarefa é uma discussão geral sobre todas as retas do plano.
Passo 2
Apresentar a forma algébrica mais geral e mostrar quando se obtém
.
Uma forma geral para uma reta é
onde
e não se tem
(isso impediria ser reta). Essa é uma descrição que vale para qualquer reta do plano.
Se
, resolve-se a equação para
:
Logo, sempre que
a reta pode ser escrita na forma
com
Isto é um argumento algébrico direto: a forma geral transforma-se em forma reduzida exatamente quando o coeficiente de
é não nulo.
Passo 3
Exibir o caso que falha: quando
.
Se
na forma geral, a equação fica
Supondo
(pois
não é reta), isso dá
ou seja, a reta é a vertical
. Algebraicamente não é possível isolar
nessa equação: não existe expressão do tipo
que gere todos os pares
com
variando livremente. Para ver a contradição de forma direta, suponha que exista
tais que a reta vertical
é
. Então para os pontos
e
da reta teria
logo
, o que não pode ser (a reta vertical contém pontos com a mesma abscissa
e alturas
diferentes). Portanto nenhuma reta vertical pode ser escrita como
.
Passo 4
Interpretação geométrica (por que, geometricamente, há falha).
A forma
expressa a reta por um coeficiente angular
(a inclinação):
mede a razão "variação de
" sobre "variação de
" (o famoso “rise/run”). Geometricamente,
é a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo
. Para uma reta vertical, a variação em
entre dois pontos quaisquer é zero, então a razão
não está definida (divisão por zero) — diz-se que a inclinação é “infinita” ou “indefinida”. A forma
pressupõe uma inclinação finita; por isso falha para retas verticais.
Passo 5
Outras formas que cobrem todos os casos (dica prática para prova).
- Forma geral
Essa representação funciona para qualquer reta: por exemplo, reta vertical
(com
).
- Cálculo de inclinação entre dois pontos
e : se ,
Se
então a reta é vertical e não existe
real.
Na prova: sempre que receber uma equação na forma
verifique
(caso vertical) antes de passar para
.]
Passo 6
Exemplos concretos (para fixar):
- Reta não vertical:
tem ; isola-se :
então é da forma
.
- Reta vertical:
dá . Não existe tais que descreva todos .
Resposta
Falso