(a) Determine os vetores diretores de r e s.
(b) Verifique se as retas são paralelas.
(c) Verifique se existe ponto de interseção.
(d) Classifique a posição relativa das retas: paralelas, concorrentes ou reversas.
(e) Explique por que, no espaço, duas retas podem não ser paralelas e ainda assim não se intersectarem.
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas no espaço em forma paramétrica:
O que o exercício pede:
(a) determinar os vetores diretores de r e s;
(b) verificar se as retas são paralelas;
(c) verificar se existe ponto de interseção entre elas;
(d) classificar a posição relativa: paralelas, concorrentes ou reversas;
(e) explicar por que, no espaço, duas retas podem não ser paralelas e ainda assim não se intersectarem.
Vou usar somente as informações acima (as expressões paramétricas das retas) para responder cada item.]
Passo 2
(a) Como extrair o vetor diretor de uma reta dada em forma paramétrica: a forma
x=x_0 + t a,\qquad y=y_0 + t b,\qquad z=z_0 + t c
representa uma reta que passa por (x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor (a,b,c). Ou seja, o coeficiente do parâmetro é justamente as componentes do vetor diretor.
Aplicando isso às retas dadas:
Para r: os coeficientes do parâmetro t são (1,-1,2). Logo o vetor diretor de r é
\vec{u}=(1,-1,2).
Para s: os coeficientes do parâmetro \lambda são (2,0,4). Logo o vetor diretor de s é
\vec{v}=(2,0,4).
Passo 3
(b) Teste de paralelismo entre retas no espaço: duas retas são paralelas se e somente se seus vetores diretores são colineares, isto é, existe um escalar k tal que
\vec{v}=k\vec{u}.
Verificamos se existe k tal que (2,0,4)=k(1,-1,2). Comparando coordenadas:
Pela primeira coordenada: 2 = k\cdot 1 \Rightarrow k=2.
Pela segunda coordenada, com k=2: 0 = k\cdot(-1) = -2, o que é falso.
Como não existe escalar k que satisfaça todas as três igualdades simultaneamente, os vetores diretores não são colineares. Portanto as retas não são paralelas.
Passo 4
(c) Teste de interseção (concorrência): para que exista interseção entre r\) e \(s\) deve haver valores \(t\) e \(\lambda\) tais que as coordenadas coincidam simultaneamente. Igualamos as parámetro-equações:
\[\begin{cases} 1+t = 3+2\lambda \\[4pt] 2-t = 0 \\[4pt] 3+2t = 1+4\lambda \end{cases}
Isso é um sistema de três equações lineares para as duas incógnitas t\] e \(\lambda. Se existir solução que satisfaça as três, o ponto correspondente é de interseção; se não existir, não há interseção.]
Passo 5
Resolvendo o sistema do passo anterior passo a passo:
Agora verificamos a terceira equação com t=2 e \lambda=0:
Lado esquerdo: 3 + 2t = 3 + 2\cdot 2 = 3 + 4 = 7.
Lado direito: 1 + 4\lambda = 1 + 4\cdot 0 = 1.
Como 7 \neq 1, a terceira equação não é satisfeita pelos t e \lambda encontrados. Portanto o sistema é incompatível: não existe par (t,\lambda) que faça as três coordenadas simultaneamente iguais. Conclusão: as retas não se intersectam.
Passo 6
(d) Classificação final: já vimos que as retas não são paralelas (Passo 3) e não se intersectam (Passo 5). No espaço, quando duas retas não são paralelas e não se intersectam elas são chamadas de retas reversas (ou “skew lines” em inglês). Logo a posição relativa é: reversas.
Passo 7
(e) Explicação conceitual (por que isso pode acontecer no espaço):
Em um plano (geometria plana) duas retas que não são paralelas sempre se cruzam (têm interseção única). Isso acontece porque no plano há apenas duas dimensões e duas retas não-paralelas determinam um ponto comum.
No espaço tridimensional há uma dimensão extra: duas retas podem estar “em níveis diferentes” de tal forma que não se cruzam nem são paralelas — imagine duas retas que passam por pontos distintos e apontam em direções não colineares, e que não pertencem a um mesmo plano. Essas são as retas reversas. Geometricamente, não existe um plano que contenha ambas as retas; por isso não há ponto de encontro.
Algébrica e criteriosamente: vetores diretores não colineares impedem paralelismo; resolver as três equações paramétricas dá, em geral, um sistema com três equações e duas incógnitas. Se esse sistema for incompatível, não há interseção. Essa incompatibilidade é exatamente o sinal algébrico de que as retas estão em “planos diferentes” e, portanto, são reversas.
Observação intuitiva: pense em duas linhas desenhadas em tábuas de madeira diferentes deslocadas no espaço — elas podem nunca tocar e ainda apontar em direções diferentes.
Resposta
(a) \vec{u}=(1,-1,2),\\ \vec{v}=(2,0,4)
(b) Não, as retas não são paralelas.
(c) Não, não existe ponto de interseção.
(d) As retas são reversas (skew lines).
(e) No espaço tridimensional duas retas podem não ser paralelas e ainda assim não se intersectarem porque podem não pertencer a um mesmo plano; algebraicamente isso aparece quando os vetores diretores não são colineares e o sistema paramétrico é incompatível.