Discute a existência dos limites abaixo:
lim z 0 z^6|z|^6,

Passo 1

O enunciado pede para discutir a existência do limite de função complexa
limzto0z^6|z|^6
Estamos trabalhando com limite de variável complexa e precisamos verificar se o valor a que a expressão tende independe da direção pela qual z se aproxima de 0.

Passo 2

Em complexos, o limite limzto0f(z)=L existe somente se, para toda sequência ou caminho que leve z a 0, o valor de f(z) tender a um mesmo número L. Se o resultado depender da direção (argumento) de z, o limite não existe.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para ver essa dependência de direção. Note que
z^6|z|^6=l(z|z|r)^6
Isso já indica que o quociente z/|z| — que é o fator de fase de z — vai aparecer dentro da potência.

Passo 4

Parametrizando z em coordenadas polares complexas, escrevemos z=r,e^itheta com r>0 e theta=arg(z). Então
z|z|=r,e^ithetar=e^itheta
e portanto
z^6|z|^6=l(e^ithetar)^6=e^i6theta
O valor e^i6theta depende diretamente de theta, que varia conforme o caminho de aproximação a 0.

Passo 5

Como diferentes direções (diferentes theta) dão valores distintos para e^i6theta — e não há convergência a um mesmo número quando zto0 — concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe, pois o valor de z^6/|z|^6 depende do argumento de z e assume diferentes números em função da direção de aproximação a 0.

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