Discute a existência dos limites abaixo:
,
Passo 1
O enunciado pede para discutir a existência do limite de função complexa
Estamos trabalhando com limite de variável complexa e precisamos verificar se o valor a que a expressão tende independe da direção pela qual z se aproxima de 0.
Passo 2
Em complexos, o limite
existe somente se, para toda sequência ou caminho que leve
a 0, o valor de
tender a um mesmo número
. Se o resultado depender da direção (argumento) de
, o limite não existe.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão para ver essa dependência de direção. Note que
Isso já indica que o quociente
— que é o fator de fase de
— vai aparecer dentro da potência.
Passo 4
Parametrizando
em coordenadas polares complexas, escrevemos
com
e
. Então
e portanto
O valor
depende diretamente de
, que varia conforme o caminho de aproximação a 0.
Passo 5
Como diferentes direções (diferentes
) dão valores distintos para
— e não há convergência a um mesmo número quando
— concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe, pois o valor de
depende do argumento de
e assume diferentes números em função da direção de aproximação a 0.