Discute a existência dos limites abaixo:
,
Passo 1
A gente quer discutir . O conteúdo aqui é argumento principal de número complexo, e para resolver vamos usar a definição de no ramo
e lembrar que há salto no eixo real negativo.
Passo 2
Escrevendo
, temos
Quando
, isto é,
e
, fica claro que
. Portanto, o que interessa é como se comporta quando
.
Passo 3
Se aproximarmos
de duas maneiras distintas:
- Se escolhemos
pequeno e , então com parte imaginária positiva, o que dá
. - Se em vez disso pegamos
pequeno, então tem parte imaginária negativa, e
.
Como as duas aproximações levam a valores diferentes (e ), o limite depende da direção de chegada.
Passo 4
Pelo fato de as direções de aproximação darem limites diferentes, concluímos que não existe, refletindo a descontinuidade de no eixo real negativo.
Resposta
O limite não existe.