Discute a existência dos limites abaixo:
lim z i Arg(i z),

Passo 1

A gente quer discutir . O conteúdo aqui é argumento principal de número complexo, e para resolver vamos usar a definição de no ramo limz to i Arg(i z) e lembrar que há salto no eixo real negativo.

Passo 2

Escrevendo z = x + i y, temos
i z = i(x + i y) = -y + i x
Quando z to i, isto é, x to 0 e y to 1, fica claro que i z to -1. Portanto, o que interessa é como se comporta quando Arg(w).

Passo 3

Se aproximarmos zto i de duas maneiras distintas:
  • Se escolhemos x>0 pequeno e y=1, então izapprox -1 + i x com parte imaginária positiva, o que dá
    .
  • Se em vez disso pegamos Arg(iz)to pi pequeno, então x<0 tem parte imaginária negativa, e
    .
    Como as duas aproximações levam a valores diferentes ( izapprox -1 + i x e Arg(iz)to -pi), o limite depende da direção de chegada.

Passo 4

Pelo fato de as direções de aproximação darem limites diferentes, concluímos que não existe, refletindo a descontinuidade de no eixo real negativo.

Resposta

O limite não existe.

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