Representando um número complexo em forma polar z=r(cos (theta)+i sen(theta)), podemos escrever funções de z em coordenadas polares:
f(z)=u(r, theta)+i v(r, theta)
Usando isso, descreva a parte real e a parte imaginária das funções abaixo em coordenadas polares (r, theta) :
f(z)=z+1z,

Passo 1

O enunciado pede para escrever a parte real u(r,theta) e a parte imaginária v(r,theta) da função f(z)=z+1/z quando z está em coordenadas polares. Vamos usar a forma polar/exponecial de z e a fórmula de Euler.

Passo 2

A gente lembra que, em coordenadas polares, um número complexo z se escreve como z=r(costheta+isintheta), que é equivalente a
z=r e^itheta
Logo, o inverso de z fica
1z=1re^-itheta

Passo 3

Com isso, podemos reescrever
f(z)=z+1z=r e^itheta+1re^-itheta
Para separar em parte real e imaginária, voltamos à forma cos- sin:
r e^itheta=r(costheta+isintheta),
1re^-itheta=1r(costheta - isintheta)

Passo 4

Somando as duas expressões, a parte real vem dos termos em costheta e a imaginária dos termos em sintheta:
  • parte real: rcostheta + tfrac1rcostheta=(r+tfrac1r)costheta
  • parte imaginária: rsintheta - tfrac1rsintheta=(r-tfrac1r)sintheta

Resposta

As partes real e imaginária em coordenadas polares são:
u(r,theta)=l(r+1rr)costheta
v(r,theta)=l(r-1rr)sintheta

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