Discutir o comportamento das soluções das equações seguintes, e sua interpretação física:
Equação da mola com segundo membro periódico, sem atrito
Equação da mola com segundo membro periódico, sem atrito
Passo 1
O enunciado trata da equação de um oscilador harmônico forçado, sem amortecimento, dado por
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento periódico. Para resolver, vamos (1) achar a solução geral da homogênea, (2) obter uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados e (3) discutir os dois casos críticos:
e
.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea associada
A equação característica é
, com raízes
. Logo, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Para
, buscamos uma solução particular da forma
Substituindo em
temos
ou seja
Logo
Passo 4
A solução geral quando
é
Esse resultado mostra dois movimentos superpostos: um com frequência natural
(oscilação livre) e outro com frequência de forçamento
. Se
for próximo de
, os dois termos interferem produzindo batimentos (beats), isto é, uma modulação da amplitude com frequência
.
Passo 5
No caso de ressonância
, a forma
falha, pois o lado direito coincide com a homogênea. Então usamos o ansatz
Substituindo e igualando coeficientes, encontra-se
A solução geral ressonante é
cuja amplitude cresce linearmente em
, levando a oscilações de amplitude não limitada.
Passo 6
Interpretando fisicamente, temos uma massa presa a uma mola sem atrito, sujeita a uma força externa periódica
.
- Para
, a massa oscila com sua frequência natural e com a frequência de forçamento, gerando batimentos se estiver perto de . - Em
ocorre ressonância: sem amortecimento, a energia fornecida pela força externa acumula-se, fazendo a amplitude crescer sem limite.
Resposta
Quando
, a solução é
mostrando batimentos se
.
Em (ressonância), a solução inclui
Em
e a amplitude cresce indefinidamente, caracterizando ressonância sem amortecimento.