Discutir o comportamento das soluções das equações seguintes, e sua interpretação física:
Equação da mola com segundo membro periódico, com atrito
Equação da mola com segundo membro periódico, com atrito
Passo 1
O enunciado nos apresenta a equação de um sistema massa-mola-amortecedor forçado por um segundo membro harmônico, ou seja,
com
. O conteúdo da matéria é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo de força periódica. Para resolver e interpretar, vamos: (i) encontrar a solução geral do homogêneo e discutir amortecimento, (ii) obter uma solução particular para o regime forçado, (iii) combinar as soluções e discutir o comportamento transiente e permanente, e (iv) interpretar fisicamente amortecimento, amplitude e fase.
Passo 2
Estudamos primeiro o homogêneo
A equação característica é
com raízes
- Se
temos raízes reais distintas (sobreamortecido) e é soma de decaimentos exponenciais sem oscilar. - Se
há raiz dupla (amortecimento crítico) e decai como . - Se
temos raízes complexas conjugadas (subamortecido) e
com
. Nesse caso o sistema oscila em frequência natural
com amplitude decaindo exponencialmente por causa do amortecimento.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular do tipo
pois o forçamento é
. Substituindo em
e igualando coeficientes, obtemos a amplitude
e o desfasamento
dado por
de modo que
se
e
se
.
Passo 4
A solução geral é
Para
pequeno domina
(transiente amortecido) que decai como
. Para
,
e fica só o regime permanente
Esse regime tem frequência do forçamento
, amplitude
e fase
.
Passo 5
Fisicamente, temos:
- O termo
representa o amortecimento viscógrado. Quanto maior , mais rápido o transiente decai. - O regime permanente é uma vibração harmônica em
, não em . - Há ressonância quando
está próximo de (no caso subamortecido e pequeno), pois atinge máximo. O amortecimento limita a amplitude no pico de ressonância. - O desfasamento
varia de a : para o deslocamento está quase em fase com a força; para ficam quase em contrafase.
Resposta
A solução se decompõe num transiente amortecido, dado por
, que decai exponencialmente, e num regime permanente harmônico,
com
. Fisicamente, o amortecimento faz o transiente desaparecer, restando oscilações forçadas em
cuja amplitude e fase dependem de
,
e
, apresentando pico de ressonância quando
aproxima-se da frequência natural atenuada.