Discutir o comportamento das soluções das equações seguintes, e sua interpretação física:
Equação da mola com segundo membro periódico, com atrito
x^{\prime \prime}+2 \mu x^{\prime}+\alpha^{2} x=\beta \operatorname{sen}(\omega t), \quad(\mu \geq 0)

Passo 1

O enunciado nos apresenta a equação de um sistema massa-mola-amortecedor forçado por um segundo membro harmônico, ou seja,
x'' + 2\mu\,x' + \alpha^{2}x = \beta \sin(\omega t),
com \mu\ge0. O conteúdo da matéria é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo de força periódica. Para resolver e interpretar, vamos: (i) encontrar a solução geral do homogêneo e discutir amortecimento, (ii) obter uma solução particular para o regime forçado, (iii) combinar as soluções e discutir o comportamento transiente e permanente, e (iv) interpretar fisicamente amortecimento, amplitude e fase.

Passo 2

Estudamos primeiro o homogêneo
x'' + 2\mu\,x' + \alpha^{2}x = 0.
A equação característica é
r^{2} + 2\mu\,r + \alpha^{2} = 0,
com raízes
r = -\mu \pm \sqrt{\mu^{2}-\alpha^{2}}.
  • Se \mu^{2}>\alpha^{2} temos raízes reais distintas (sobreamortecido) e x_h(t) é soma de decaimentos exponenciais sem oscilar.
  • Se \mu^{2}=\alpha^{2} há raiz dupla (amortecimento crítico) e x_h(t) decai como (C_1 + C_2\,t)e^{-\mu t}.
  • Se \mu^{2}<\alpha^{2} temos raízes complexas conjugadas (subamortecido) e
x_h(t) = e^{-\mu t}\bigl(A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)\bigr),
com \omega_0 = \sqrt{\alpha^2-\mu^2}. Nesse caso o sistema oscila em frequência natural \omega_0 com amplitude decaindo exponencialmente por causa do amortecimento.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular do tipo
x_p(t) = X\sin(\omega t - \varphi),
pois o forçamento é \beta\sin(\omega t). Substituindo em
x'' + 2\mu x' + \alpha^2 x = \beta\sin(\omega t)
e igualando coeficientes, obtemos a amplitude
X = \frac{\beta}{\sqrt{(\alpha^2-\omega^2)^2 + (2\mu\,\omega)^2}}
e o desfasamento \varphi dado por
\tan\varphi = \frac{2\mu\,\omega}{\alpha^2-\omega^2},
de modo que \varphi\in(0,\pi) se \omega>\alpha e \varphi\in(0,\pi/2) se \omega<\alpha.

Passo 4

A solução geral é
x(t) = x_h(t) + x_p(t).
Para t pequeno domina x_h(t) (transiente amortecido) que decai como e^{-\mu t}. Para t\to\infty, x_h(t)\to0 e fica só o regime permanente
x(t)\approx X\sin(\omega t - \varphi).
Esse regime tem frequência do forçamento \omega, amplitude X e fase \varphi.

Passo 5

Fisicamente, temos:
  • O termo 2\mu x' representa o amortecimento viscógrado. Quanto maior \mu, mais rápido o transiente decai.
  • O regime permanente é uma vibração harmônica em \omega, não em \omega_0.
  • Há ressonância quando \omega está próximo de \sqrt{\alpha^2 - 2\mu^2} (no caso subamortecido e \mu pequeno), pois X atinge máximo. O amortecimento limita a amplitude no pico de ressonância.
  • O desfasamento \varphi varia de 0 a \pi: para \omega\ll\alpha o deslocamento está quase em fase com a força; para \omega\gg\alpha ficam quase em contrafase.

Resposta

A solução se decompõe num transiente amortecido, dado por x_h(t), que decai exponencialmente, e num regime permanente harmônico,
x_p(t)=\frac{\beta}{\sqrt{(\alpha^2-\omega^2)^2+(2\mu\omega)^2}}\sin\!\bigl(\omega t-\varphi\bigr),
com \tan\varphi=\tfrac{2\mu\omega}{\alpha^2-\omega^2}. Fisicamente, o amortecimento faz o transiente desaparecer, restando oscilações forçadas em \omega cuja amplitude e fase dependem de \alpha, \mu e \omega, apresentando pico de ressonância quando \omega aproxima-se da frequência natural atenuada.

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