Discutir o comportamento das soluções das equações seguintes, e sua interpretação física:
Equação da mola com segundo membro periódico, com atrito
x^{\prime \prime}+2 \mu x^{\prime}+\alpha^{2} x=\beta \operatorname{sen}(\omega t), \quad(\mu \geq 0)

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador linear forçado com amortecimento, dado por
x'' + 2\mu\,x' + \alpha^2\,x = \beta \sin(\omega t),
onde \mu\ge0. O conteúdo envolve solução de EDOs lineares de segunda ordem, soma da solução homogênea (transiente) com a particular (regime permanente), e estudo de ressonância e amortecimento.

Passo 2

Encontramos a solução geral da homogênea associada
x_h'' + 2\mu\,x_h' + \alpha^2\,x_h = 0
resolvendo a equação característica
r^2 + 2\mu r + \alpha^2 = 0,
cuja raízes são
r = -\mu \pm \sqrt{\mu^2 - \alpha^2}.
  • Se \mu> \alpha: raízes reais distintas (\emph{sobreamortecido}).
  • Se \mu = \alpha: raízes reais iguais (\emph{criticamente amortecido}).
  • Se \mu<\alpha: raízes complexas conjugadas (\emph{subamortecido}), r=-\mu\pm i\sqrt{\alpha^2-\mu^2}.
Em todos os casos, \Re(r)<0 quando \mu>0, logo x_h(t) decai exponencialmente.

Passo 3

Procuramos uma solução particular do tipo
x_p(t) = A\sin(\omega t - \varphi),
onde A e \varphi satisfazem:
A = \frac{\beta}{\sqrt{(\alpha^2-\omega^2)^2 + (2\mu\omega)^2}} \quad\text{e}\quad \varphi = \arctan\!\biggl(\frac{2\mu\omega}{\alpha^2-\omega^2}\biggr).

Passo 4

A solução geral é
x(t) = x_h(t) + x_p(t).
Para \mu>0, o termo x_h(t) (o transiente) decai conforme e^{-\mu t}, e conforme t\to\infty sobra apenas
x(t)\sim x_p(t),
que é um regime permanente de amplitude finita A e defasagem \varphi.

Passo 5

Analisando o regime permanente:
  • Amplitude A(\omega) apresenta pico quando \omega se aproxima de \sqrt{\alpha^2 - 2\mu^2} (para \mu pequeno, quase em \omega=\alpha).
  • A fase \varphi(\omega) varia de 0 (para \omega\ll\alpha) até \pi (para \omega\gg\alpha), passando por \pi/2 em \omega=\alpha.

Passo 6

Caso sem amortecimento \mu=0:
  • A solução homogênea é x_h=C_1\cos(\alpha t)+C_2\sin(\alpha t) (não decai).
  • A particular em ressonância exata \omega=\alpha torna-se secular:
x_p(t)=\frac{\beta}{2\alpha}\,t\cos(\alpha t),
crescendo sem limite com o tempo (\emph{ressonância pura}).

Passo 7

Interpretação física:
  • O termo 2\mu x' representa atrito viscoso que dissipa energia e faz o transiente sumir.
  • A força periódica injeta energia, gerando regime permanente com amplitude limitada pelo balanço entre entrada de energia e dissipação.
  • Em \omega\approx\alpha ocorre ressonância, onde a resposta é máxima; sem amortecimento, a oscilação cresce indefinidamente, o que na prática destruiria o sistema.

Resposta

  • Para \mu>0: a solução é soma de um transiente exponencialmente decrescente e de um regime permanente harmônico de amplitude
A(\omega)=\frac{\beta}{\sqrt{(\alpha^2-\omega^2)^2+(2\mu\omega)^2}}
e defasagem \varphi=\arctan\bigl(\tfrac{2\mu\omega}{\alpha^2-\omega^2}\bigr). O transiente some e sobra apenas a oscilação forçada limitada.
  • Para \mu=0: não há amortecimento; em \omega\neq\alpha temos resposta harmônica estável, mas em \omega=\alpha há ressonância pura, com amplitude crescendo indefinidamente (termo em t\cos(\alpha t)).
  • Fisicamente, o amortecimento dissipa energia e impede crescimento ilimitado, enquanto a força periódica mantém o regime estacionário e gera pico de amplitude em ressonância.

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