Discutir o comportamento das soluções das equações seguintes, e sua interpretação física:
Equação da mola com segundo membro periódico, com atrito
Equação da mola com segundo membro periódico, com atrito
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador linear forçado com amortecimento, dado por
onde
. O conteúdo envolve solução de EDOs lineares de segunda ordem, soma da solução homogênea (transiente) com a particular (regime permanente), e estudo de ressonância e amortecimento.
Passo 2
Encontramos a solução geral da homogênea associada
resolvendo a equação característica
cuja raízes são
- Se
: raízes reais distintas (\emph{sobreamortecido}). - Se
: raízes reais iguais (\emph{criticamente amortecido}). - Se
: raízes complexas conjugadas (\emph{subamortecido}), .
Em todos os casos,
quando
, logo
decai exponencialmente.
Passo 3
Procuramos uma solução particular do tipo
onde
e
satisfazem:
Passo 4
A solução geral é
Para
, o termo
(o transiente) decai conforme
, e conforme
sobra apenas
que é um regime permanente de amplitude finita
e defasagem
.
Passo 5
Analisando o regime permanente:
- Amplitude
apresenta pico quando se aproxima de (para pequeno, quase em ). - A fase
varia de (para ) até (para ), passando por em .
Passo 6
Caso sem amortecimento
:
- A solução homogênea é
(não decai). - A particular em ressonância exata
torna-se secular:
crescendo sem limite com o tempo (\emph{ressonância pura}).
Passo 7
Interpretação física:
- O termo
representa atrito viscoso que dissipa energia e faz o transiente sumir. - A força periódica injeta energia, gerando regime permanente com amplitude limitada pelo balanço entre entrada de energia e dissipação.
- Em
ocorre ressonância, onde a resposta é máxima; sem amortecimento, a oscilação cresce indefinidamente, o que na prática destruiria o sistema.
Resposta
- Para
: a solução é soma de um transiente exponencialmente decrescente e de um regime permanente harmônico de amplitude
e defasagem
. O transiente some e sobra apenas a oscilação forçada limitada.
- Para
: não há amortecimento; em temos resposta harmônica estável, mas em há ressonância pura, com amplitude crescendo indefinidamente (termo em ). - Fisicamente, o amortecimento dissipa energia e impede crescimento ilimitado, enquanto a força periódica mantém o regime estacionário e gera pico de amplitude em ressonância.