Uma equação diferencial da forma
, onde
é um numero real fixado, é chamada equação de Bessel de ordem
.
Se
, mostre que
e
são soluções LI da equação de Bessel.
Se
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Bessel de ordem
e pede, no caso
, duas soluções linearmente independentes. Vamos usar o método de Frobenius em
, pois permite obter séries de potências e tratar o caso de raízes repetidas do polinômio indicial.
Passo 2
Assumimos solução da forma
Substituindo em
e coletando o menor expoente
, obtemos o polinômio indicial
que tem raiz dupla
. Para o coeficiente geral, a comparação de
dá a relação de recorrência (para
)
Passo 3
Da recorrência vemos que todos os
e, tomando
,
Logo a primeira solução é
Passo 4
Como a raiz
é dupla, a segunda solução pelo método padrão é
com coeficientes
escolhidos para anular o restante da equação. Seguindo a teoria de séries para raízes repetidas, chega‐se a
e
. Substituindo
desta forma, obtemos
Reescrevendo o sinal
, chega‐se exatamente à forma pedida:
Passo 5
Para ver que
e
são linearmente independentes basta notar que
contém o termo
multiplicando
, o que não pode ser obtido como combinação constante de potências puras de
. Alternativamente, o Wronskiano
é diferente de zero em
, garantindo independência linear no intervalo
.
Resposta
As duas soluções linearmente independentes para
são