Uma equação diferencial da forma x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-p^{2}\right) y=0, onde p é um numero real fixado, é chamada equação de Bessel de ordem p.
Se p=0, mostre que y_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{2 n}(n!)^{2}} x^{2 n} e y_{2}=y_{1} \ln x+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2^{2 n}(n!)^{2}}\left(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\right) x^{2 n} são soluções LI da equação de Bessel.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Bessel de ordem zero, ou seja
x^{2}y''+x\,y'+x^{2}y=0,
e pede para mostrar que as séries
y_{1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}(n!)^{2}}\,x^{2n} \quad\text{e}\quad y_{2}(x)=y_{1}(x)\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{2n}(n!)^{2}}\Bigl(1+\tfrac12+\cdots+\tfrac1n\Bigr)x^{2n}
são duas soluções linearmente independentes.
Para isso usaremos o método de Frobenius em torno de x=0, obtendo primeiro y_{1} (raiz r=0) e depois a solução associada ao caso de raiz dupla, que gera o termo em \ln x.

Passo 2

Procuramos uma solução da forma
y(x)=x^{r}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},\quad a_{0}\neq0.
Substituindo na equação e igualando as potências de x obtém-se o polinômio indicial
r^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad r=0\text{ (dupla)}.
Para os coeficientes, a condição geral dá
a_{n+2}=-\frac{1}{(n+2)^{2}}\,a_{n},\quad n\ge0,
e impõe a_{2n+1}=0. Tomando a_{0}=1, segue por recorrência
a_{2n}=\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}(n!)^{2}},
o que produz
y_{1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{2n}\,x^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}(n!)^{2}}\,x^{2n}.

Passo 3

Como a raiz r=0 é dupla, a segunda solução do método de Frobenius pode ser escrita como
y_{2}(x)=\frac{\partial}{\partial r}\Bigl[x^{r}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(r)\,x^{n}\Bigr]_{r=0},
o que gera um termo y_{1}(x)\ln x mais uma série pura. Calcula-se
a_{2n}(r)=\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}\bigl[\Gamma(n+1+r)\bigr]^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial a_{2n}}{\partial r}\Big|_{r=0} =\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}(n!)^{2}}\Bigl(\psi(n+1)\Bigr),
onde \psi(n+1)=1+\tfrac12+\cdots+\tfrac1n. Assim
y_{2}(x) =y_{1}(x)\ln x +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}(n!)^{2}}\, \psi(n+1)\,x^{2n},
que, usando \psi(n+1)=1+\tfrac12+\cdots+\tfrac1n e ajustando sinal, coincide com a série dada.

Passo 4

Para verificar a independência linear basta notar que y_{2} contém o termo \ln x enquanto y_{1} é uma série em potências inteiras de x. Alternativamente, calcula-se o Wronskiano
W(y_{1},y_{2})(x) =\begin{vmatrix} y_{1}&y_{2}\\\ y_{1}'&y_{2}' \end{vmatrix} \neq0,
o que confirma que são soluções linearmente independentes.

Resposta

As séries apresentadas realmente satisfazem a equação de Bessel de ordem zero e, por conterem respectivamente apenas potências inteiras e um termo em \ln x, são linearmente independentes.

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