Uma equação diferencial da forma x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-p^{2}\right) y=0, onde p é um numero real fixado, é chamada equação de Bessel de ordem p.
Se p=0, mostre que y_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{2 n}(n!)^{2}} x^{2 n} e y_{2}=y_{1} \ln x+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2^{2 n}(n!)^{2}}\left(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\right) x^{2 n} são soluções LI da equação de Bessel.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação de Bessel de ordem zero, ou seja
são duas soluções linearmente independentes.
Para isso usaremos o método de Frobenius em torno de x=0, obtendo primeiro y_{1} (raiz r=0) e depois a solução associada ao caso de raiz dupla, que gera o termo em \ln x.
y_{2}(x) =y_{1}(x)\ln x +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}(n!)^{2}}\, \psi(n+1)\,x^{2n},
que, usando \psi(n+1)=1+\tfrac12+\cdots+\tfrac1n e ajustando sinal, coincide com a série dada.
Passo 4
Para verificar a independência linear basta notar que y_{2} contém o termo \ln x enquanto y_{1} é uma série em potências inteiras de x. Alternativamente, calcula-se o Wronskiano
o que confirma que são soluções linearmente independentes.
Resposta
As séries apresentadas realmente satisfazem a equação de Bessel de ordem zero e, por conterem respectivamente apenas potências inteiras e um termo em \ln x, são linearmente independentes.