Discutir e resolver o sistema
rl m x-y+m z= & m 2 x+m z= & 3 m x+m y= & 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com três incógnitas: , e . A matéria que estamos usando aqui é sistemas lineares, e para resolver precisamos entender um pouco de algebra linear. Vamos precisar usar métodos como eliminação ou substituição para encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
m x - y + m z = m 2 x + m z = 3 m x + m y = 2

Passo 3

Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Olhando para a segunda equação, ela não tem o termo 2x + mz = 3 Rightarrow mz = 3 - 2x Rightarrow z = 3 - 2xm , então vamos usá-la para expressar em função de .

Passo 4

Agora que temos m x - y + m ( 3 - 2xm ) = m em função de m x - y + 3 - 2x = m , vamos substituir essa expressão na primeira equação para eliminar (m x - 2x) - y + 3 = m :
x(m - 2) - y = m - 3
Simplificando:

Passo 5

Vamos agora olhar para a terceira equação do sistema original:
m x + m y = 2 Rightarrow m(x + y) = 2 Rightarrow x + y = 2m
Agora temos duas equações:

Passo 6

Vamos resolver essas duas equações para x(m - 2) - y + x + y = m - 3 + 2m e x(m - 2 + 1) = m - 3 + 2m . Somando as duas equações para eliminar x(m - 1) = m - 3 + 2m :
x = m - 3 + 2mm - 1
Simplificando:
x = m(m - 3) + 2m(m - 1) = m^2 - 3m + 2m(m - 1)
m^2 - 3m + 2 = (m - 1)(m - 2)
x = (m - 1)(m - 2)m(m - 1) = m - 2m
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por :
Podemos fatorar o numerador:
Então:

Passo 7

Agora que temos x + y = 2m Rightarrow y = 2m - x = 2m - m - 2m = 2 - (m - 2)m = 4 - mm , vamos encontrar usando a segunda equação:

Passo 8

Por fim, vamos encontrar z = 3 - 2xm = 3 - 2( m - 2m )m = 3 - 2m - 4mm = 3m - 2m + 4mm = m + 4m^2 usando a expressão que encontramos no Passo 3:

Resposta

As soluções do sistema são:
x = m - 2m, y = 4 - mm, z = m + 4m^2

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