Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema de equações que você me passou. A gente vai trabalhar com sistemas lineares aqui, ou seja, resolver um conjunto de equações que têm várias incógnitas. Precisamos encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo, dependendo dos parâmetros e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
a x + y + 2 z = b (1) 2 a x - y + 2 z = 1 (2) 2 x + y + 2 z = 3 (3)
Vamos tentar simplificar o sistema para facilitar a resolução. Uma boa estratégia é eliminar uma das variáveis usando combinações das equações.
Passo 3
Vamos somar as equações (1) e (2) para eliminar o (a x + y + 2 z) + (2 a x - y + 2 z) = b + 1 a x + 2 a x + y - y + 2 z + 2 z = b + 1 3 a x + 4 z = b + 1 (4) :
Agora, temos uma nova equação (4) que relaciona e .
Passo 4
Vamos agora somar as equações (1) e (3) para também eliminar o (a x + y + 2 z) + (2 x + y + 2 z) = b + 3 a x + 2 x + y + y + 2 z + 2 z = b + 3 (a + 2) x + 2 y + 4 z = b + 3 (5) :
No entanto, vamos focar na equação (4) para continuar simplificando.
Passo 5
Vamos resolver a equação (4) para 3 a x + 4 z = b + 1 4 z = -3 a x + b + 1 z = -3 a x + b + 14 (6) em termos de :
Agora temos expresso em função de .
Passo 6
Vamos substituir a expressão de 2 x + y + 2 ( -3 a x + b + 14 ) = 3 2 x + y + -3 a x + b + 12 = 3 Mu da equação (6) na equação (3) para encontrar :
Agora temos em termos de .
Passo 7
Com as expressões de e em termos de , podemos expressar todas as variáveis em função de . Para determinar um valor específico, precisaríamos de mais informações ou condições sobre e . Porém, para discutir o sistema, vamos verificar quando ele tem soluções únicas, infinitas ou nenhuma solução.
Passo 8
Um sistema de três equações com três incógnitas geralmente tem uma única solução se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero. Vamos montar essa matriz:
a & 1 & 2 2a & -1 & 2 2 & 1 & 2
O determinante D = a(-1 cdot 2 - 2 cdot 1) - 1(2a cdot 2 - 2 cdot 2) + 2(2a cdot 1 - (-1) cdot 2) D = a(-2 - 2) - 1(4a - 4) + 2(2a + 2) D = a(-4) - (4a - 4) + (4a + 4) D = -4a - 4a + 4 + 4a + 4 D = (-4a -4a +4a) + (4 +4) D = -4a +8 dessa matriz é:
Então, .
Passo 9
Para que o sistema tenha uma solução única, precisamos que -4a + 8 neq 0 -4a neq -8 a neq 2 :
Portanto, se , o sistema tem uma única solução.
Passo 10
Se 2x + y + 2z = b 4x - y + 2z = 1 2x + y + 2z = 3 , o determinante 2x + y + 2z = b e 2x + y + 2z = 3 , o que significa que o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo dos valores de . Vamos analisar isso:
Substituindo no sistema:
Observamos que as equações (1) e (3) se tornam:
Para que ambas sejam verdadeiras, precisamos que . Se , as duas equações são iguais, e o sistema terá infinitas soluções. Se , não há solução.
Resposta
O sistema tem uma única solução para todo valor de . Quando , o sistema tem infinitas soluções se e nenhuma solução se .