Mostrar a identidade
|ccc a & b & c x & y & z m & n & p |=|ccc a & b+2 c & c x & y+2 z & z m & n+2 p & p |

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma igualdade entre dois determinantes 3x3. O conteúdo que vamos usar é o de determinantes e suas propriedades, especialmente como operações em colunas afetam o valor do determinante. Vamos precisar lembrar que adicionar um múltiplo de uma coluna a outra não muda o valor do determinante.

Passo 2

Primeiro, observamos os dois determinantes que queremos comparar:
|ccc a & b & c x & y & z m & n & p | e |ccc a & b+2c & c x & y+2z & z m & n+2p & p |
Perceba que no segundo determinante, na segunda coluna, a gente está adicionando 2c, 2z e 2p aos elementos das primeiras colunas.

Passo 3

Vamos lembrar uma propriedade chave dos determinantes: se adicionarmos um múltiplo de uma coluna a outra, o valor do determinante não muda. Nesse caso, estamos adicionando 2 vezes a terceira coluna à segunda coluna.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao primeiro determinante, podemos fazer a seguinte operação: substituir a segunda coluna pela soma dela com 2 vezes a terceira coluna. Isso fica assim:
|ccc a & b+2c & c x & y+2z & z m & n+2p & p |
De acordo com a propriedade, o valor do determinante permanece o mesmo após essa operação.

Passo 5

Portanto, vimos que:
|ccc a & b & c x & y & z m & n & p | = |ccc a & b+2c & c x & y+2z & z m & n+2p & p |
Isso mostra que os dois determinantes são iguais.

Resposta

A igualdade dos determinantes está comprovada, ou seja:
|ccc a & b & c x & y & z m & n & p |=|ccc a & b+2 c & c x & y+2 z & z m & n+2 p & p |

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