A dissociação do \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{4} em \mathrm{NO}_{2} é 16,7 \% completa a 298 K e 1 atm :
\mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{4}(g) \rightleftharpoons 2 \mathrm{NO}_{2}(g)
Calcule a constante de equilíbrio e a variação na energia de Gibbs-padrão para a reação. [Dica: Seja \alpha o grau de dissociação e mostre que K_{P}=4 \alpha^{2} P /\left(1-\alpha^{2}\right), em que P é a pressão total.]

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • Reação: \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{4}(g) \rightleftharpoons 2\,\mathrm{NO}_{2}(g).
  • Grau de dissociação: \alpha=16{,}7\%, ou seja \alpha=0{,}167.
  • Temperatura: T=298\\ \text{K}.
  • Pressão total: P=1\\ \text{atm}.
    As perguntas são:
  1. Calcular a constante de equilíbrio K_{P} para a reação nas condições dadas.
  2. Calcular a variação da energia de Gibbs-padrão \Delta G^\circ para a reação a 298\\ \text{K}.

Passo 2

Vamos deduzir a expressão pedida para K_{P}. Para organizar a conta, suponho 1 mol inicial de \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{4}. Se uma fração \alpha se dissocia, então (após equilíbrio):
  • mol de \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{4}: 1-\alpha.
  • mol de \mathrm{NO}_{2}: 2\alpha.
    O número total de mols no equilíbrio é
n_\text{tot}=1-\alpha+2\alpha=1+\alpha.
A fração molar (mole fraction) de cada gás é a razão entre seus mols e n_\text{tot}. Assim:
y_{\mathrm{N}_2\mathrm{O}_4}=\frac{1-\alpha}{1+\alpha},\qquad y_{\mathrm{NO}_2}=\frac{2\alpha}{1+\alpha}.
As pressões parciais valem p_i=y_i P. Então
p_{\mathrm{NO}_2}=\frac{2\alpha}{1+\alpha}\,P,\qquad p_{\mathrm{N}_2\mathrm{O}_4}=\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\,P.
A constante em pressão para a reação \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{4}\rightleftharpoons 2\mathrm{NO}_{2} é
K_{P}=\frac{(p_{\mathrm{NO}_2})^{2}}{p_{\mathrm{N}_2\mathrm{O}_4}}.
Substituindo as pressões parciais:
K_{P}=\frac{\left(\dfrac{2\alpha}{1+\alpha}P\right)^{2}}{\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha}P} =\frac{4\alpha^{2}P^{2}}{(1+\alpha)^{2}}\cdot\frac{1+\alpha}{(1-\alpha)P} =\frac{4\alpha^{2}P}{1-\alpha^{2}}.
Essa é exatamente a expressão indicada: \displaystyle K_{P}=\frac{4\alpha^{2}P}{1-\alpha^{2}}.

Passo 3

Agora calculo numericamente K_{P} com \alpha=0{,}167 e P=1\\ \text{atm}.
Primeiro \alpha^{2}:
\alpha^{2}=(0{,}167)^{2}=0{,}027889\\ (\text{aprox.}).
Denominador 1-\alpha^{2}:
1-\alpha^{2}=1-0{,}027889=0{,}972111.
Numerador 4\alpha^{2}P com P=1:
4\alpha^{2}P=4\cdot0{,}027889\cdot1=0{,}111556.
Portanto
K_{P}=\frac{0{,}111556}{0{,}972111}=0{,}1148\\ (\text{aprox.}).
Arredondando de forma razoável: K_{P}\approx0{,}115. (Unidade: adimensional quando a pressão padrão é 1\\ \text{atm}.)

Passo 4

Agora calculo \Delta G^\circ. A relação entre a energia livre-padrão e a constante de equilíbrio é
\Delta G^\circ = -RT\ln K_{P},
onde:
  • R é a constante universal dos gases, R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}};
  • T é a temperatura em kelvin, aqui T=298\\ \text{K};
  • \ln é o logaritmo natural; K_{P} deve ser adimensional (aqui usamos a pressão padrão 1\\ \text{atm}).
Calculo \ln K_{P}:
\ln(0{,}1148)\approx -2{,}163.
Calculo RT:
RT=8{,}314\cdot298=2478{,}6\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}\\ (\text{aprox.}).
Logo
\Delta G^\circ = -2478{,}6\cdot(-2{,}163)=5364\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}\\ (\text{aprox.}).
Convertendo para \mathrm{kJ\,mol^{-1}}:
\Delta G^\circ \approx 5{,}36\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Interpretação rápida: K_{P}<1 implica \Delta G^\circ>0, ou seja, sob as condições padrão a formação de produtos não é espontânea.

Resposta

K_{P}\approx0{,}115
\Delta G^\circ\approx 5{,}36\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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