A distância entre dois planos paralelos é dada pela fórmula de distância entre ponto e plano. Qual é a distância entre os planos paralelos π1: x-z=0 e π2: -2x+2z+8=0?

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de geometria analítica que pede para encontrar a distância entre dois planos paralelos. Os planos são dados pelas equações:
  • Plano π₁: $ x - z = 0 $
  • Plano π₂: $ -2x + 2z + 8 = 0 $
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois planos paralelos. A gente precisa identificar os coeficientes das variáveis nas equações dos planos e aplicar a fórmula direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os planos são realmente paralelos. Dois planos são paralelos se os coeficientes das variáveis correspondentes forem proporcionais.
Para π₁: $ x - z = 0 $, os coeficientes são: A₁ = 1 (de x), B₁ = 0 (de y, que não aparece), e C₁ = -1 (de z).
Para π₂: $ -2x + 2z + 8 = 0 $, os coeficientes são: A₂ = -2, B₂ = 0, e C₂ = 2.
Observando os coeficientes, vemos que $ A₂ = -2 \times A₁ $, $ B₂ = -2 \times B₁ $ (que continua zero), e $ C₂ = -2 \times C₁ $. Isso confirma que os planos são paralelos.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distância entre dois planos paralelos. A fórmula é:
d = |D₂ - D₁|raizA² + B² + C² ²²²
Onde:
  • $ A, B, C $ são os coeficientes das variáveis na equação padrão do plano.
  • $ D₁, D₂ $ são os termos independentes das duas equações dos planos.
Primeiro, precisamos colocar as equações dos planos na forma padrão $ Ax + By + Cz + D = 0 $.
Para π₁: $ x - z = 0 $ já está na forma padrão, então $ D₁ = 0 $.
Para π₂: $ -2x + 2z + 8 = 0 $ está na forma padrão, então $ D₂ = 8 $.

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores de A, B e C. Podemos usar os coeficientes de π₁ para isso:
  • $ A = 1 $
  • $ B = 0 $
  • $ C = -1 $
Substituindo esses valores na fórmula da distância:
A = 1 ²²²

Passo 5

Para simplificar, vamos racionalizar o denominador:
8raiz2 = 8 times raiz2raiz2 times raiz2 = 8raiz22 = 4raiz2

Resposta

A distância entre os planos $ \pi_1 $ e $ \pi_2 $ é $ 4\sqrt{2} $ unidades.

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