Um cubo de açúcar típico tem 1 cm de aresta. Qual é o valor da aresta de uma caixa cúbica com capacidade suficiente para conter um mol de cubos de açúcares? (um mol= 6,02.10^23 unidades)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema diz que cada cubo de açúcar tem 1 cm de aresta e precisamos descobrir qual seria a aresta de uma caixa cúbica que consegue guardar um mol desses cubos. Para isso, vamos usar conceitos de volume de cubos e entender o que significa um mol (que é 6,02 × 10²³ unidades). Vamos precisar calcular o volume total que um mol de cubos ocupa e depois encontrar a aresta da caixa que comporta esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume de um único cubo de açúcar. Como ele é um cubo perfeito, o volume $ V $ é dado pela fórmula:
V
onde $ a $ é a aresta do cubo. Aqui, $ a = 1 $ cm, então:
V = a^3
Então, cada cubo de açúcar ocupa 1 centímetro cúbico.

Passo 3

Agora, queremos saber o volume total que um mol de cubos de açúcar ocuparia. Sabemos que 1 mol contém $ 6,02 \times 10^{23} $ unidades. Então, o volume total $ V_{total} $ é:
6,02 times 10^23

Passo 4

A próxima etapa é encontrar a aresta da caixa cúbica que comporta esse volume. Sabemos que o volume de um cubo é $ a^3 $, então para encontrar a aresta $ a $ da caixa, precisamos tirar a raiz cúbica do volume total:
a^3

Passo 5

Vamos calcular essa raiz cúbica. Primeiro, podemos simplificar a expressão usando propriedades de potências:
a = (6,02 times 10^23)^1/3 = 6,02^1/3 times (10^23)^1/3
Sabemos que $ \left(10{23}\right){1/3} = 10^{23/3} \approx 10^{7,6667} $.
Calculando $ 6,02^{1/3} $, que é aproximadamente 1,817.
Portanto:
(10^23)^1/3 = 10^23/3 approx 10^7,6667

Passo 6

Para simplificar $ 10^{7,6667} $, podemos escrever isso como:
10^7,6667
Multiplicando pelos fatores anteriores:
10^7 times 10^0,6667 approx 10^7 times 4,63 = 4,63 times 10^7 cm

Resposta

A aresta da caixa cúbica necessária para conter um mol de cubos de açúcar é aproximadamente $ 8,41 \times 10^{7} $ centímetros.

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