Um cubo de açúcar típico tem 1 cm de aresta. Qual é o valor da aresta de uma caixa cúbica com capacidade suficiente para conter um mol de cubos de açúcares? (um mol= 6,02.10^23 unidades)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema diz que cada cubo de açúcar tem 1 cm de aresta e precisamos descobrir qual seria a aresta de uma caixa cúbica que consegue guardar um mol desses cubos. Para isso, vamos usar conceitos de volume de cubos e entender o que significa um mol (que é 6,02 × 10²³ unidades). Vamos precisar calcular o volume total que um mol de cubos ocupa e depois encontrar a aresta da caixa que comporta esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume de um único cubo de açúcar. Como ele é um cubo perfeito, o volume $ V $ é dado pela fórmula:
onde $ a $ é a aresta do cubo. Aqui, $ a = 1 $ cm, então:
Então, cada cubo de açúcar ocupa 1 centímetro cúbico.
Passo 3
Agora, queremos saber o volume total que um mol de cubos de açúcar ocuparia. Sabemos que 1 mol contém $ 6,02 \times 10^{23} $ unidades. Então, o volume total $ V_{total} $ é:
Passo 4
A próxima etapa é encontrar a aresta da caixa cúbica que comporta esse volume. Sabemos que o volume de um cubo é $ a^3 $, então para encontrar a aresta $ a $ da caixa, precisamos tirar a raiz cúbica do volume total:
Passo 5
Vamos calcular essa raiz cúbica. Primeiro, podemos simplificar a expressão usando propriedades de potências:
Sabemos que $ \left(10{23}\right){1/3} = 10^{23/3} \approx 10^{7,6667} $.
Calculando $ 6,02^{1/3} $, que é aproximadamente 1,817.
Portanto:
Passo 6
Para simplificar $ 10^{7,6667} $, podemos escrever isso como:
Multiplicando pelos fatores anteriores:
Resposta
A aresta da caixa cúbica necessária para conter um mol de cubos de açúcar é aproximadamente $ 8,41 \times 10^{7} $ centímetros.