(Distância entre dois pontos)
Sejam os pontos
A=(2,-1,3) \quad \text { e } \quad B=(-1,4,0)
Calcule a distância entre os pontos A e B.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(2,-1,3)\quad\text{e}\quad B=(-1,4,0)
e pede para calcular a distância entre A e B. Essas são todas as informações relevantes: as coordenadas de A e de B, e o objetivo é obter o número que representa a distância euclidiana entre esses dois pontos no espaço \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da distância entre dois pontos em \mathbb{R}^3. Se
A=(x_A,y_A,z_A)\quad\text{e}\quad B=(x_B,y_B,z_B),
então a distância d(A,B) é dada por
d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.
Explicando didaticamente por que é essa a fórmula: primeiro aplica-se o Teorema de Pitágoras no plano xy para obter a distância horizontal entre as projeções no plano xy,
d_{xy}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
Depois considera-se um triângulo retângulo cujos catetos são d_{xy} e a diferença nas z-coordenadas (z_B-z_A). Aplicando Pitágoras de novo,
d(A,B)=\sqrt{d_{xy}^2+(z_B-z_A)^2}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.
Aqui cada variável representa: x_A,y_A,z_A são as coordenadas do ponto A e x_B,y_B,z_B as do ponto B. Essa fórmula é a versão 3D do cálculo de distância que já se usa em 2D.

Passo 3

Agora aplico a fórmula aos pontos dados. Substituindo (x_A,y_A,z_A)=(2,-1,3) e (x_B,y_B,z_B)=(-1,4,0) na expressão,
d(A,B)=\sqrt{(-1-2)^2+(4-(-1))^2+(0-3)^2}.

Passo 4

Calculo cada diferença e o quadrado correspondente, passo a passo:
-1-2=-3,\qquad (-3)^2=9,
4-(-1)=4+1=5,\qquad 5^2=25,
0-3=-3,\qquad (-3)^2=9.

Passo 5

Somando os quadrados e extraindo a raiz:
d(A,B)=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43}.

Passo 6

Para ter uma ideia numérica rápida, note que 6^2=36 e 7^2=49, então \sqrt{43} está entre 6 e 7. Aproximação comum:
\sqrt{43}\approx 6,557.
Força aí — a resposta exata é simples e elegante: \sqrt{43}.

Resposta

\sqrt{43}

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