Vamos apresentar a fórmula que dá a distância do ponto P=(x_0,y_0,z_0) ao plano \pi: ax+by+cz+d=0. A fórmula é
\text{dist}(P,\pi)=\frac{\left|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Explicando cada símbolo:
a,b,c,d são os coeficientes do plano \pi.
(x_0,y_0,z_0) são as coordenadas do ponto P.
O numerador \left|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\right| é o valor absoluto do membro esquerdo da equação do plano avaliado em P; esse valor corresponde ao produto escalar entre o vetor normal ao plano e o vetor que liga qualquer ponto do plano ao ponto P.
O denominador \sqrt{a^2+b^2+c^2} é a norma (módulo) do vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c). Dividindo pelo módulo obtemos a projeção na direção normal (ou seja, a distância perpendicular).
Uma derivação rápida (intuitiva) da fórmula:
Tome um ponto qualquer Q que pertença ao plano \pi. Então \overrightarrow{PQ}=\big(x_0-x_Q,\;y_0-y_Q,\;z_0-z_Q\big).
A distância perpendicular de P a \pi é o módulo da projeção de \overrightarrow{PQ} sobre o vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c):
Aplicar a fórmula juntando numerador e denominador:
\text{dist}(P,\pi)=\frac{5}{3}\approx 1,666\ldots
Pronto — essa fração \dfrac{5}{3} é a distância perpendicular do ponto P ao plano \pi. Força aí nos estudos — essa fórmula aparece muito em prova e vale decorar o procedimento (avaliar o plano no ponto e dividir pelo módulo do vetor normal).