(Distância de um ponto a um plano)
Considere o plano
\pi: 2 x-y+2 z-3=0
Calcule a distância do ponto
P=(1,2,-1)
ao plano \pi.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O plano \pi dado por \;2x - y + 2z - 3 = 0\;.
  • O ponto P=(1,2,-1).
O que é pedido:
  • Calcular a distância do ponto P ao plano \pi.

Passo 2

Vamos apresentar a fórmula que dá a distância do ponto P=(x_0,y_0,z_0) ao plano \pi: ax+by+cz+d=0. A fórmula é
\text{dist}(P,\pi)=\frac{\left|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Explicando cada símbolo:
  • a,b,c,d são os coeficientes do plano \pi.
  • (x_0,y_0,z_0) são as coordenadas do ponto P.
  • O numerador \left|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\right| é o valor absoluto do membro esquerdo da equação do plano avaliado em P; esse valor corresponde ao produto escalar entre o vetor normal ao plano e o vetor que liga qualquer ponto do plano ao ponto P.
  • O denominador \sqrt{a^2+b^2+c^2} é a norma (módulo) do vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c). Dividindo pelo módulo obtemos a projeção na direção normal (ou seja, a distância perpendicular).
Uma derivação rápida (intuitiva) da fórmula:
  • Tome um ponto qualquer Q que pertença ao plano \pi. Então \overrightarrow{PQ}=\big(x_0-x_Q,\;y_0-y_Q,\;z_0-z_Q\big).
  • A distância perpendicular de P a \pi é o módulo da projeção de \overrightarrow{PQ} sobre o vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c):
\text{dist}(P,\pi)=\frac{|\overrightarrow{PQ}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{n}\|}.
  • Como Q satisfaz a x_Q + b y_Q + c z_Q + d = 0, tem-se
\overrightarrow{PQ}\cdot\mathbf{n}=a(x_0-x_Q)+b(y_0-y_Q)+c(z_0-z_Q)=a x_0+b y_0+c z_0+d,
o que leva à fórmula acima.

Passo 3

Identificar os coeficientes do plano e as coordenadas do ponto (pego do enunciado):
  • Para \pi: 2x - y + 2z - 3 = 0 temos a=2, b=-1, c=2, d=-3.
  • Para P temos x_0=1, y_0=2, z_0=-1.

Passo 4

Calcular o numerador \left|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\right|:
a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 2\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 2\cdot(-1) + (-3).
Agora efetuando as contas passo a passo:
2\cdot 1 = 2,\qquad (-1)\cdot 2 = -2,\qquad 2\cdot(-1) = -2.
Somando:
2 + (-2) + (-2) + (-3) = 2-2-2-3 = -5.
Tomando o valor absoluto:
\left|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\right| = |-5| = 5.

Passo 5

Calcular o denominador \sqrt{a^2+b^2+c^2}:
\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 6

Aplicar a fórmula juntando numerador e denominador:
\text{dist}(P,\pi)=\frac{5}{3}\approx 1,666\ldots
Pronto — essa fração \dfrac{5}{3} é a distância perpendicular do ponto P ao plano \pi. Força aí nos estudos — essa fórmula aparece muito em prova e vale decorar o procedimento (avaliar o plano no ponto e dividir pelo módulo do vetor normal).

Resposta

\dfrac{5}{3}

Exercícios relacionados