(Distância entre uma reta e um plano)
Considere a reta
r:(x, y, z)=(0,1,-1)+t(1,2,1), \quad t \in \mathbb{R}
e o plano
\pi: x+2 y+z-5=0 .
Determine a distância entre a reta r e o plano \pi.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre a reta r e o plano \pi.
Informações dadas:
  • A reta r está dada por
r:(x,y,z)=(0,1,-1)+t(1,2,1),\qquad t\in\mathbb{R},
ou seja, um ponto da reta é P_0=(0,1,-1) e o vetor diretor é v=(1,2,1).
  • O plano \pi é dado por
\pi: x+2y+z-5=0,
cujo vetor normal é n=(1,2,1) e o termo independente é D=-5.
O que precisa ser respondido:
  • Determinar a distância entre r e \pi.

Passo 2

Estratégia e ideia principal (passo-a-passo do raciocínio):
  • A distância entre uma reta e um plano é o menor valor da distância de pontos da reta até o plano. Se a reta intercepta o plano (isto é, se existe algum ponto da reta que pertence ao plano) então a distância é 0.
  • Para saber se a reta intercepta o plano podemos substituir a parametrização da reta na equação do plano e ver se existe solução para o parâmetro t. Esse procedimento dá uma equação linear em t.
  • Há também um teste rápido com produto escalar: ao substituir a reta na equação do plano surge o termo n\cdot v (produto escalar entre normal do plano e vetor diretor da reta). Se n\cdot v\neq 0 então a equação em t tem solução única e a reta intercepta o plano; se n\cdot v=0 então ou a reta é paralela ao plano (nenhuma interseção) ou está contida no plano (infinidade de interseções). No caso paralelo (nenhuma interseção) a distância é dada pela fórmula da distância ponto-plano usando qualquer ponto da reta.
Vou aplicar esses testes passo a passo.

Passo 3

Calcular o produto escalar n\cdot v para ver a relação entre reta e plano.
O vetor normal é n=(1,2,1) e o vetor diretor é v=(1,2,1). Então
n\cdot v = 1\cdot 1 + 2\cdot 2 + 1\cdot 1 = 1 + 4 + 1 = 6.
Como n\cdot v = 6 \neq 0, a equação obtida ao substituir a reta na equação do plano terá solução única em t. Logo, a reta intersecta o plano em um ponto único (a reta é ortogonal ao plano, porque seu vetor diretor é paralelo ao normal, mas mesmo assim cruza o plano).
Para mostrar concretamente a interseção, substituímos as coordenadas paramétricas da reta na equação do plano:
x=t,\qquad y=1+2t,\qquad z=-1+t.
Substituindo em x+2y+z-5=0:
t + 2(1+2t) + (-1+t) - 5 = 0.
Calculemos passo a passo:
t + 2 + 4t -1 + t -5 = 0 \quad\Rightarrow\quad 6t -4 = 0.
Daí
t=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
O ponto de interseção é
r\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\Big(\tfrac{2}{3},\,1+2\cdot\tfrac{2}{3},\,-1+\tfrac{2}{3}\Big)=\Big(\tfrac{2}{3},\,\tfrac{7}{3},\,-\tfrac{1}{3}\Big).
Como existe esse ponto comum, a reta cruza o plano.

Passo 4

Conclusão sobre a distância e comentário didático sobre a fórmula do caso paralelo.
  • Como a reta r intersecta o plano \pi, a menor distância entre eles é 0 (o ponto de interseção está a distância zero).
  • Comentário didático útil para a prova: se em outro caso a reta fosse paralela ao plano (isto é, se n\cdot v=0 e a reta não estivesse contida no plano), então a distância da reta ao plano seria a mesma que a distância de qualquer ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) da reta ao plano, dada pela fórmula
\text{dist}(P_0,\pi)=\frac{\big|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\big|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
onde Ax+By+Cz+D=0 é a equação do plano (aqui A=1,B=2,C=1,D=-5). Essa fórmula vem da projeção do vetor que vai do ponto até o plano na direção do normal; A x_0 + B y_0 + C z_0 + D é exatamente n\cdot P_0 + D, e \sqrt{A^2+B^2+C^2}=\|n\|.

Resposta

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