A distância focal Y de uma lente convergente foi determinada a partir das posições de um objeto luminoso e da sua imagem correspondente. A medição foi repetida 12 vezes e os resultados encontram-se na tabela abaixo.
Y(\mathrm{~mm}) 208,33 206,21 207,00 206,39 205,44 209,18
f 2 3 2 2 2 1
sendo f a frequência de ocorrência de cada medida. Sabendo-se que o erro na medição é de 0,01 \mathrm{~mm}, determine:
a) o desvio padrão \sigma_{L} da medida;
b) os erros estatístico e sistemático;
c) as incertezas absolutas e a relativa percentual da medida;
d) escreva a medida na forma de intervalo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei-os da tabela do enunciado): as medições de Y e suas frequências f são
    • Y_1=208{,}33 com f_1=2
    • Y_2=206{,}21 com f_2=3
    • Y_3=207{,}00 com f_3=2
    • Y_4=206{,}39 com f_4=2
    • Y_5=205{,}44 com f_5=2
    • Y_6=209{,}18 com f_6=1
  • Total de medidas: N=\sum_{i=1}^{6} f_i = 12.
  • O enunciado também informa que o “erro na medição” (isto é a incerteza instrumental/sistemática) vale 0{,}01\\ \mathrm{mm}.
O que o problema pede:
a) o desvio padrão \sigma_{L} da medida (desvio padrão das observações individuais);
b) os erros estatístico e sistemático;
c) as incertezas absolutas e a incerteza relativa percentual;
d) escrever a medida como um intervalo (ou seja, \bar{Y} \pm incerteza).

Passo 2

Calcular a média aritmética ponderada (média das observações repetidas).
  • Fórmula: a média é
\bar{Y}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{6} f_i Y_i,
onde f_i é a frequência de Y_i e N o número total de medidas.
  • Cálculo dos termos f_i Y_i:
\begin{aligned} 2\cdot208{,}33&=416{,}66,\\\\ 3\cdot206{,}21&=618{,}63,\\\\ 2\cdot207{,}00&=414{,}00,\\\\ 2\cdot206{,}39&=412{,}78,\\\\ 2\cdot205{,}44&=410{,}88,\\\\ 1\cdot209{,}18&=209{,}18. \end{aligned}
Soma: \sum f_i Y_i = 2482{,}13.
  • Assim
\bar{Y}=\frac{2482{,}13}{12}=206{,}844166\ldots \\ \mathrm{mm}.
Explicando: a média é o melhor palpite central para Y se todas as medidas têm o mesmo peso; aqui usamos as frequências para economizar repetição.

Passo 3

Calcular o desvio padrão das observações individuais \sigma_L (desvio amostral), explicando a fórmula com frequências.
  • Conceito curto: o desvio padrão mede o espalhamento típico das medidas individuais em volta da média. Para um conjunto com frequências usamos a versão:
s^2=\frac{1}{N-1}\Bigg(\sum_{i=1}^{6} f_i Y_i^2 - N\bar{Y}^2\Bigg),
e o desvio padrão é s=\sqrt{s^2}. Aqui N-1 (graus de liberdade) é usado porque estamos estimando a variância da população a partir da amostra.
  • Calculamos \sum f_i Y_i^2. Primeiro os Y_i^2:
\begin{aligned} 208{,}33^2&=43401{,}3889,\\\\ 206{,}21^2&=42522{,}5641,\\\\ 207{,}00^2&=42849{,}0000,\\\\ 206{,}39^2&=42596{,}8321,\\\\ 205{,}44^2&=42205{,}5936,\\\\ 209{,}18^2&=43756{,}2724. \end{aligned}
Multiplicando por f_i e somando:
\sum_{i} f_i Y_i^2 = 513429{,}5939.
  • Agora usar a fórmula:
\begin{aligned} s^2 &= \frac{1}{N-1}\Big( \sum f_i Y_i^2 - N\bar{Y}^2\Big) \\\ &= \frac{1}{11}\Big(513429{,}5939 - 12\cdot(206{,}844166\ldots)^2\Big). \end{aligned}
Um truque prático: 12\bar{Y}^2 = \dfrac{(\sum f_i Y_i)^2}{12}, então pode-se calcular sem perda de precisão. Fazendo as contas obtemos
s^2 \approx 1{,}407499\\ \mathrm{mm}^2,
logo
\sigma_{L}=s\approx\sqrt{1{,}407499}=1{,}186\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: \sigma_L indica que uma medição individual típica difere da média por cerca de 1{,}186\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Calcular os erros estatístico e sistemático e explicar o que cada um significa.
  • Erro estatístico (ou incerteza estatística da média): é o erro associado ao caráter aleatório das medições; quando fazemos N medidas independentes, a incerteza típica na média é reduzida por \sqrt{N}. A fórmula é
\sigma_{\bar{Y}}=\frac{\sigma_L}{\sqrt{N}}.
Substituindo:
\sigma_{\bar{Y}}=\frac{1{,}186}{\sqrt{12}}\approx\frac{1{,}186}{3{,}4641}\approx0{,}343\\ \mathrm{mm}.
  • Erro (incerteza) sistemático: o enunciado informou que "o erro na medição é de 0{,}01\\ \mathrm{mm}". Isso corresponde à incerteza instrumental/sistemática \sigma_{\text{sist}}=0{,}01\\ \mathrm{mm}. Explicando: é um deslocamento ou limite de resolução que não diminui ao repetir medições; trata-se de um desvio que afeta todas as medidas na mesma direção (daí “sistemático”).

Passo 5

Combinar erros (incerteza total) e calcular a incerteza relativa percentual.
  • Quando há uma incerteza estatística \sigma_{\bar{Y}} e uma incerteza sistemática \sigma_{\text{sist}} independentes, combinam-se em quadratura:
\sigma_{\text{tot}}=\sqrt{\sigma_{\bar{Y}}^{2}+\sigma_{\text{sist}}^{2}}.
Substituindo os números:
\sigma_{\text{tot}}=\sqrt{(0{,}343)^2+(0{,}01)^2}\approx\sqrt{0{,}117649+0{,}0001}\approx\sqrt{0{,}117749}\approx0{,}343\\ \mathrm{mm}.
(Nota: o termo sistemático é muito pequeno comparado ao estatístico, por isso o total praticamente coincide com o erro estatístico.)
  • Incerteza relativa percentual:
\text{incerteza relativa}=\frac{\sigma_{\text{tot}}}{\bar{Y}}\times 100\%.
Substituindo:
\frac{0{,}343}{206{,}844}\times100\%\approx0{,}166\%\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Arredondamentos e apresentação final em forma de intervalo.
  • Regra prática: a incerteza costuma ser dada com uma ou duas algarismos significativos; aqui \sigma_{\text{tot}}\approx0{,}343\\ \mathrm{mm} tem três algarismos, podemos mantê-la com três cifras significativas ou arredondar para duas. Vou manter três casas decimais nos valores absolutos para clareza, lembrando que a incerteza domina a precisão da média.
  • A medida na forma \bar{Y}\pm \sigma_{\text{tot}} é
Y = 206{,}844\\ \mathrm{mm} \pm 0{,}343\\ \mathrm{mm}.
Isso corresponde ao intervalo
206{,}844-0{,}343 \le Y \le 206{,}844+0{,}343,
ou seja
206{,}501\\ \mathrm{mm} \le Y \le 207{,}187\\ \mathrm{mm}.

Resposta

a) \sigma_{L}=1{,}186\\ \mathrm{mm}
b) Erro estatístico \sigma_{\bar{Y}}=0{,}343\\ \mathrm{mm}; erro sistemático \sigma_{\text{sist}}=0{,}01\\ \mathrm{mm}
c) Incertezas absolutas: estatística 0{,}343\\ \mathrm{mm}, sistemática 0{,}01\\ \mathrm{mm}; incerteza total 0{,}343\\ \mathrm{mm}. Incerteza relativa percentual \approx0{,}166\%
d) Intervalo: Y=206{,}844\\ \mathrm{mm}\pm0{,}343\\ \mathrm{mm}, isto é 206{,}501\\ \mathrm{mm}\le Y\le207{,}187\\ \mathrm{mm}

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