A distância focal
de uma lente convergente foi determinada a partir das posições de um objeto luminoso e da sua imagem correspondente. A medição foi repetida 12 vezes e os resultados encontram-se na tabela abaixo.
208,33
206,21
207,00
206,39
205,44
209,18
2
3
2
2
2
1
sendo
a frequência de ocorrência de cada medida. Sabendo-se que o erro na medição é de
, determine:
a) o desvio padrão
da medida;
b) os erros estatístico e sistemático;
c) as incertezas absolutas e a relativa percentual da medida;
d) escreva a medida na forma de intervalo.
|
|
208,33 | 206,21 | 207,00 | 206,39 | 205,44 | 209,18 |
|
|
2 | 3 | 2 | 2 | 2 | 1 |
a) o desvio padrão
b) os erros estatístico e sistemático;
c) as incertezas absolutas e a relativa percentual da medida;
d) escreva a medida na forma de intervalo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (peguei-os da tabela do enunciado): as medições de
e suas frequências são -
com -
com -
com -
com -
com -
com
-
-
Total de medidas:
. -
O enunciado também informa que o “erro na medição” (isto é a incerteza instrumental/sistemática) vale
.
O que o problema pede:
a) o desvio padrão da medida (desvio padrão das observações individuais);
b) os erros estatístico e sistemático;
c) as incertezas absolutas e a incerteza relativa percentual;
d) escrever a medida como um intervalo (ou seja, incerteza).
a) o desvio padrão
b) os erros estatístico e sistemático;
c) as incertezas absolutas e a incerteza relativa percentual;
d) escrever a medida como um intervalo (ou seja,
Passo 2
Calcular a média aritmética ponderada (média das observações repetidas).
- Fórmula: a média é
onde
é a frequência de
e
o número total de medidas.
- Cálculo dos termos
:
Soma:
.
- Assim
Explicando: a média é o melhor palpite central para
se todas as medidas têm o mesmo peso; aqui usamos as frequências para economizar repetição.
Passo 3
Calcular o desvio padrão das observações individuais
(desvio amostral), explicando a fórmula com frequências.
- Conceito curto: o desvio padrão mede o espalhamento típico das medidas individuais em volta da média. Para um conjunto com frequências usamos a versão:
e o desvio padrão é
. Aqui
(graus de liberdade) é usado porque estamos estimando a variância da população a partir da amostra.
- Calculamos
. Primeiro os :
Multiplicando por
e somando:
- Agora usar a fórmula:
Um truque prático:
, então pode-se calcular sem perda de precisão. Fazendo as contas obtemos
logo
Interpretação:
indica que uma medição individual típica difere da média por cerca de
.
Passo 4
Calcular os erros estatístico e sistemático e explicar o que cada um significa.
- Erro estatístico (ou incerteza estatística da média): é o erro associado ao caráter aleatório das medições; quando fazemos
medidas independentes, a incerteza típica na média é reduzida por . A fórmula é
Substituindo:
- Erro (incerteza) sistemático: o enunciado informou que "o erro na medição é de
". Isso corresponde à incerteza instrumental/sistemática . Explicando: é um deslocamento ou limite de resolução que não diminui ao repetir medições; trata-se de um desvio que afeta todas as medidas na mesma direção (daí “sistemático”).
Passo 5
Combinar erros (incerteza total) e calcular a incerteza relativa percentual.
- Quando há uma incerteza estatística
e uma incerteza sistemática independentes, combinam-se em quadratura:
Substituindo os números:
(Nota: o termo sistemático é muito pequeno comparado ao estatístico, por isso o total praticamente coincide com o erro estatístico.)
- Incerteza relativa percentual:
Substituindo:
Passo 6
Arredondamentos e apresentação final em forma de intervalo.
-
Regra prática: a incerteza costuma ser dada com uma ou duas algarismos significativos; aqui
tem três algarismos, podemos mantê-la com três cifras significativas ou arredondar para duas. Vou manter três casas decimais nos valores absolutos para clareza, lembrando que a incerteza domina a precisão da média. -
A medida na forma
é
Isso corresponde ao intervalo
ou seja
Resposta
a)
b) Erro estatístico ; erro sistemático
c) Incertezas absolutas: estatística , sistemática
; incerteza total
. Incerteza relativa percentual
d) Intervalo: , isto é
b) Erro estatístico
c) Incertezas absolutas: estatística
d) Intervalo: