Para determinar o peso atômico do átomo do carbono foram efetuadas as medidas mostradas na tabela abaixo. Determine:
a) o desvio padrão \sigma_{L} da medida;
b) os erros estatístico e sistemático;
c) as incertezas absolutas e a relativa percentual da medida;
d) escreva a medida na forma de intervalo.
Peso atômico (u.m.a)
12,0080 12,0101 12,0107 12,0095 12,0102 12,0116
12,0097 12,0106 12,0129 12,0080 12,0104 12,0107

Passo 1

O enunciado pede que, a partir das doze medidas do peso atômico do carbono, se determine:
(a) o desvio padrão \sigma_{L} da medida;
(b) os erros estatístico e sistemático;
(c) as incertezas absolutas e a incerteza relativa percentual da medida;
(d) a medida escrita na forma de intervalo.
As doze medidas fornecidas (em u.m.a) são:
12,0080,\;12,0101,\;12,0107,\;12,0095,\;12,0102,\;12,0116,\;12,0097,\;12,0106,\;12,0129,\;12,0080,\;12,0104,\;12,0107.
O número de medidas é \;N=12.

Passo 2

Calcular a média aritmética (valor central das medidas). Fórmula:
\bar{x}=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i,
onde \bar{x} é a média e x_i são as medidas individuais.
Somando as doze medidas obtém-se \sum_{i=1}^{12} x_i = 144,1224. Portanto
\bar{x}=\dfrac{144,1224}{12}=12,0102\\ \text{u.m.a}.
Interpretação didática: a média é o melhor valor central que representa as doze leituras; sempre calcule somando tudo e dividindo pelo número de pontos.

Passo 3

Calcular o desvio padrão amostral (desvio padrão das medidas), que aqui chamaremos de \sigma_{L}. Fórmula (desvio-padrão amostral, com correção de Bessel):
s=\sigma_{L}=\sqrt{\dfrac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2},
onde x_i-\bar{x} é a diferença de cada medida em relação à média e N-1 é o número de graus de liberdade (usa-se N-1 para uma estimativa não viciada da variância quando a média foi estimada a partir dos dados).
Calculando as diferenças (x_i-\bar{x}) e seus quadrados (em u.m.a ^2) e somando, encontra-se
\sum_{i=1}^{12}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2 = 0,00002038.
Logo a variância amostral vale
s^{2}=\dfrac{0,00002038}{11}=0,0000018527\\ \text{(u.m.a)}^{2},
e o desvio padrão é
\sigma_{L}=s=\sqrt{0,0000018527}\approx 0,001362\\ \text{u.m.a}.
Comentário didático: o desvio padrão indica a dispersão típica das leituras em torno da média; aqui as leituras variam tipicamente cerca de 1{,}36\times10^{-3} u.m.a.

Passo 4

Erro estatístico (erro tipo A): normalmente, para reportar a incerteza estatística da média usa-se o desvio padrão da média (erro padrão):
\text{erro estatístico}=\sigma_{\bar{x}}=\dfrac{s}{\sqrt{N}},í
onde s é o desvio amostral calculado e \sqrt{N} reduz a incerteza pelo número de medidas (mais medidas → menor erro da média).
Aqui
\sigma_{\bar{x}}=\dfrac{0,001362}{\sqrt{12}}=\dfrac{0,001362}{3,4641}\approx 0,000393\\ \text{u.m.a}.
Interpretação: 0,000393 u.m.a é a incerteza estatística associada ao valor médio devido à variação aleatória entre as medidas.

Passo 5

Erro sistemático: é um viés constante que desloca todas as medidas em relação ao valor verdadeiro. Se houver um valor “verdadeiro/aceito” tabulado, uma maneira prática de estimar o erro sistemático é a diferença entre a média experimental e o valor aceito.
Usualmente o peso atômico tabulado para o carbono é \;12,011\\ \text{u.m.a}. Tomando este valor como referência, o erro sistemático (diferença entre média e valor aceito) é
\text{erro sistemático}=\bar{x}-x_{\text{aceito}}=12,0102-12,011=-0,0008\\ \text{u.m.a}.á
Em módulo:
\lvert\text{erro sistemático}\rvert=0,0008\\ \text{u.m.a}.á
Observação didática: se não houver um valor aceito ou outra fonte para o viés, o erro sistemático deve ser estimado a partir do instrumento, calibração ou análise crítica; aqui foi usado o valor aceito \,12,011 para obter um estimador do viés.

Passo 6

Incertezas absolutas e combinação das incertezas (incerteza total): quando existem incertezas estatística e sistemática independentes, a incerteza total costuma ser obtida combinando-as em quadratura:
u_{\text{total}}=\sqrt{\sigma_{\bar{x}}^{2}+\bigl(\text{erro sistemático}\bigr)^{2}}.á
Substituindo os números:
u_{\text{total}}=\sqrt{(0,000393)^{2}+(0,0008)^{2}} = \sqrt{1{,}546\times10^{-7}+6{,}400\times10^{-7}} =\sqrt{7{,}946\times10^{-7}} \approx 0,000893\\ \text{u.m.a}.
Então as incertezas absolutas relevantes são:
  • incerteza estatística (erro padrão da média): \;0,000393\\ \text{u.m.a};
  • incerteza sistemática (viés em módulo): \;0,0008\\ \text{u.m.a};
  • incerteza combinada (incerteza total): \;0,000893\\ \text{u.m.a}.

Passo 7

Incerteza relativa percentual: é a incerteza absoluta total dividida pelo valor medido, multiplicada por 100\%:
\text{incerteza relativa}=\dfrac{u_{\text{total}}}{\bar{x}}\times100\% =\dfrac{0,000893}{12,0102}\times100\% \approx 0,00743\%.
Interpretação: a incerteza total corresponde a cerca de 7{,}4\times10^{-3} por cento do valor medido — muito pequena, o que faz sentido porque as medidas são muito próximas entre si.

Passo 8

Escrever a medida na forma de intervalo. Primeiro arredondamentos práticos: a incerteza total 0,000893 pode ser arredondada em duas casas significativas para 0,0009 u.m.a; a média \bar{x} deve ser escrita com a mesma precisão decimal:
\bar{x}=12,0102\\ \text{u.m.a},\qquad u_{\text{total}}\approx0,0009\\ \text{u.m.a}.
Assim a medida na forma \bar{x}\pm u_{\text{total}} é
12,0102\pm0,0009\\ \text{u.m.a},
que corresponde ao intervalo
[12,0093,\;12,0111]\\ \text{u.m.a}.

Resposta

(a) \sigma_{L}=0,00136\\ \text{u.m.a}
(b) erro estatístico =0,00039\\ \text{u.m.a} (erro padrão da média); erro sistemático =0,0008\\ \text{u.m.a} (diferença para 12,011)
(c) incertezas absolutas: estatística 0,00039\\ \text{u.m.a}, sistemática 0,0008\\ \text{u.m.a}, combinada 0,00089\\ \text{u.m.a}; incerteza relativa =0,00743\%
(d) 12,0102\pm0,0009\\ \text{u.m.a}, intervalo [12,0093,\;12,0111]\\ \text{u.m.a}

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