Doze determinações da largura de uma barra metálica, feitas com uma régua milimetrada acham-se assim distribuídas:
L_{i}(\mathrm{~cm}) 17,80 17,79 17,82 17,81 17,78
f 3 2 2 3 2
sendo f a freqüência de ocorrência de cada medida. Determine:
a) o desvio padrão \sigma_{L} da medida;
b) os erros estatístico e sistemático;
c) as incertezas absolutas e a relativa percentual da medida;
d) escreva a medida na forma de intervalo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Foram feitas doze determinações da largura de uma barra com uma régua milimetrada. Os valores e suas frequências são (peguei estes números do enunciado):
    • L_1=17,80\\ \text{cm} com f_1=3
    • L_2=17,79\\ \text{cm} com f_2=2
    • L_3=17,82\\ \text{cm} com f_3=2
    • L_4=17,81\\ \text{cm} com f_4=3
    • L_5=17,78\\ \text{cm} com f_5=2
  • Total de medições: n=\sum f_i=3+2+2+3+2=12.
O enunciado pede:
a) o desvio padrão \sigma_{L} da medida;
b) os erros estatístico e sistemático;
c) as incertezas absolutas e a relativa percentual da medida;
d) escrever a medida na forma de intervalo.

Passo 2

Calcular a média aritmética (valor central das medições). Fórmula e explicação rápida:
  • A média ponderada por frequências é a estimativa do valor verdadeiro a partir das medições. A fórmula é
\bar{L}=\frac{1}{n}\sum_{i} f_i L_i,
onde f_i é a frequência da medida L_i e n é o total de medições.
Agora calculo numericamente (mostrando cada produto f_iL_i):
\begin{aligned} f_1L_1&=3\cdot17,80=53,40,\\\ f_2L_2&=2\cdot17,79=35,58,\\\ f_3L_3&=2\cdot17,82=35,64,\\\ f_4L_4&=3\cdot17,81=53,43,\\\ f_5L_5&=2\cdot17,78=35,56. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_iL_i=53,40+35,58+35,64+53,43+35,56=213,61.
Logo
\bar{L}=\frac{213,61}{12}=17,800833\ldots
Vou manter \bar{L}=17,8008\\ \text{cm} para os cálculos (apresentarei arredondamentos finais apropriados depois).

Passo 3

Definir e explicar o desvio padrão amostral (o estimador usual para dispersão das medidas).
  • Para um conjunto de n medições com possíveis repetições, o desvio padrão amostral s (estimador de \sigma_L) é dado por
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_i f_i\bigl(L_i-\bar{L}\bigr)^2}.
Explicação: subtrai-se a média para obter os desvios, eleva-se ao quadrado para tornar positivos e somam-se ponderando pelas frequências; divide-se por n-1 para obter o estimador não viciado da variância.
Agora calculo cada termo (L_i-\bar{L}), seu quadrado e a contribuição f_i(L_i-\bar{L})^2. Usarei \bar{L}=17,800833\ldots.
\begin{aligned} L_1-\bar{L}&=17,80-17,800833\ldots=-0,000833\ldots,\\\ (L_1-\bar{L})^2&\approx0,00000069444,\quad f_1(L_1-\bar{L})^2\approx3\cdot0,00000069444=0,00000208333;\\[4pt] L_2-\bar{L}&=17,79-17,800833\ldots=-0,010833\ldots,\\\ (L_2-\bar{L})^2&\approx0,00011736111,\quad f_2(L_2-\bar{L})^2\approx2\cdot0,00011736111=0,00023472222;\\[4pt] L_3-\bar{L}&=17,82-17,800833\ldots=0,019166\ldots,\\\ (L_3-\bar{L})^2&\approx0,00036736111,\quad f_3(L_3-\bar{L})^2\approx2\cdot0,00036736111=0,00073472222;\\[4pt] L_4-\bar{L}&=17,81-17,800833\ldots=0,009166\ldots,\\\ (L_4-\bar{L})^2&\approx0,00008402778,\quad f_4(L_4-\bar{L})^2\approx3\cdot0,00008402778=0,00025208333;\\[4pt] L_5-\bar{L}&=17,78-17,800833\ldots=-0,020833\ldots,\\\ (L_5-\bar{L})^2&\approx0,00043402778,\quad f_5(L_5-\bar{L})^2\approx2\cdot0,00043402778=0,00086805556. \end{aligned}
Somando as contribuições:
\sum_i f_i(L_i-\bar{L})^2\approx0,00000208333+0,00023472222+0,00073472222+0,00025208333+0,00086805556=0,00209166666.
Agora a variância amostral:
s^2=\frac{0,00209166666}{n-1}=\frac{0,00209166666}{11}\approx0,0001901515.
E o desvio padrão amostral:
s=\sqrt{0,0001901515}\approx0,013785\\ \text{cm}.
Interpretação curta: as medições têm dispersão típica de cerca de 0,0138\\ \text{cm}.]

Passo 4

Apresento o valor arredondado do desvio padrão pedido em (a) e comento a escolha do estimador.
  • Como se pediu o “desvio padrão \sigma_L da medida” e temos amostra finita de n=12, o procedimento padrão é usar o desvio padrão amostral s (estimador não viciado). Portanto
\sigma_{L}\approx s=0,0138\\ \text{cm}.
(Arredondei para três algarismos significativos na parte decimal, compatível com a precisão das medidas.)

Passo 5

Erro estatístico (erro do valor médio) — definição, fórmula e cálculo.
  • O erro estatístico associado à média (também chamado erro padrão da média) mede a incerteza do valor médio devido à dispersão das medições e é dado por
\text{erro estatístico} = \sigma_{\bar{L}}=\frac{s}{\sqrt{n}},í
onde s é o desvio padrão amostral e n o número de medições.
Cálculo numérico:
\sigma_{\bar{L}}=\frac{0,013785}{\sqrt{12}}=\frac{0,013785}{3,4641\ldots}\approx0,00398\\ \text{cm}.
Arredondando convenientemente:
\text{erro estatístico}\approx0,0040\\ \text{cm}.í
Comentário amigável: isso diz que, pela variação estatística das 12 leituras, a média está conhecida com incerteza cerca de 4\times10^{-3}\\ \text{cm}.

Passo 6

Erro sistemático (incerteza instrumental) — explicação e valor.
  • A régua é “milimetrada”: a menor divisão é 1\\ \text{mm}=0,1\\ \text{cm}. A incerteza típica de leitura por uma régua é aproximadamente metade da menor divisão (quando se lê a olho), isto é,
\text{erro sistemático (instrumental)}\approx\frac{\text{menor divisão}}{2}=\frac{0,1\\ \text{cm}}{2}=0,05\\ \text{cm}.áã
Observação: este é um erro sistemático/instrumental, não decresce com o número de medições.

Passo 7

Combinar erros estatístico e sistemático para obter a incerteza total (absoluta) — justificativa e cálculo.
  • Quando há uma componente estatística (aleatória) e uma sistemática independentes, uma forma razoável de obter a incerteza total é combiná-las em quadratura:
\Delta_{\text{tot}}=\sqrt{\sigma_{\bar{L}}^2+\Delta_{\text{sist}}^2},
porque variâncias independentes somam.
Cálculo numérico:
\Delta_{\text{tot}}=\sqrt{(0,00398)^2+(0,05)^2}=\sqrt{0,00001584+0,0025}\approx\sqrt{0,00251584}\approx0,05016\\ \text{cm}.
Arredondando adequadamente:
\Delta_{\text{tot}}\approx0,0502\\ \text{cm}\approx0,05\\ \text{cm}.

Passo 8

Incertezas absolutas e incerteza relativa percentual — explicação e cálculo.
  • Incertezas absolutas pedidas (vou listar):
    • erro estatístico (absoluto): \sigma_{\bar{L}}\approx0,0040\\ \text{cm};
    • erro sistemático (absoluto): \Delta_{\text{sist}}=0,05\\ \text{cm};
    • incerteza total (absoluta): \Delta_{\text{tot}}\approx0,0502\\ \text{cm} (ou, por conveniência de relatório, 0,05\\ \text{cm}).
  • Incerteza relativa percentual (usando a incerteza total):
\text{incerteza relativa (\%)}=\frac{\Delta_{\text{tot}}}{\bar{L}}\times100\%.
Cálculo:
\frac{0,05016}{17,8008}\times100\%\approx0,282\%.
Para efeito de comparação, a incerteza relativa apenas estatística seria
\frac{0,00398}{17,8008}\times100\%\approx0,0224\%.

Passo 9

Escrever a medida na forma de intervalo e comentar arredondamento.
  • Normalmente apresentamos a média com a mesma ordem de grandeza da incerteza. A incerteza total é \approx0,05\\ \text{cm} (duas casas decimais). Então escrevemos a medida como
\bar{L}=(17,80\pm0,05)\\ \text{cm}.
Isto corresponde ao intervalo numérico
[17,75\\ \text{cm},\;17,85\\ \text{cm}].
Breve encorajamento: vimos que o erro sistemático da régua domina a incerteza, por isso fazer mais medidas sem melhorar o instrumento não reduz muito o erro total — é um ponto importante para a hora da prova e do laboratório!

Resposta

a) \sigma_{L}\approx0,0138\\ \text{cm}
b) erro estatístico =0,0040\\ \text{cm}; erro sistemático =0,05\\ \text{cm}
c) incertezas absolutas: estatística 0,0040\\ \text{cm}, sistemática 0,05\\ \text{cm}, total \approx0,0502\\ \text{cm}. Incerteza relativa percentual (total) \approx0,282\%
d) \bar{L}=(17,80\pm0,05)\\ \text{cm} que corresponde ao intervalo [17,75\\ \text{cm},\;17,85\\ \text{cm}]

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