Doze determinações da largura de uma barra metálica, feitas com uma régua milimetrada acham-se assim distribuídas:
17,80
17,79
17,82
17,81
17,78
3
2
2
3
2
sendo
a freqüência de ocorrência de cada medida. Determine:
a) o desvio padrão
da medida;
b) os erros estatístico e sistemático;
c) as incertezas absolutas e a relativa percentual da medida;
d) escreva a medida na forma de intervalo.
|
|
17,80 | 17,79 | 17,82 | 17,81 | 17,78 |
|
|
3 | 2 | 2 | 3 | 2 |
a) o desvio padrão
b) os erros estatístico e sistemático;
c) as incertezas absolutas e a relativa percentual da medida;
d) escreva a medida na forma de intervalo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
-
Foram feitas doze determinações da largura de uma barra com uma régua milimetrada. Os valores e suas frequências são (peguei estes números do enunciado):
-
com -
com -
com -
com -
com
-
-
Total de medições:
.
O enunciado pede:
a) o desvio padrão da medida;
b) os erros estatístico e sistemático;
c) as incertezas absolutas e a relativa percentual da medida;
d) escrever a medida na forma de intervalo.
a) o desvio padrão
b) os erros estatístico e sistemático;
c) as incertezas absolutas e a relativa percentual da medida;
d) escrever a medida na forma de intervalo.
Passo 2
Calcular a média aritmética (valor central das medições). Fórmula e explicação rápida:
- A média ponderada por frequências é a estimativa do valor verdadeiro a partir das medições. A fórmula é
onde
é a frequência da medida
e
é o total de medições.
Agora calculo numericamente (mostrando cada produto
):
Somando:
Logo
Vou manter
para os cálculos (apresentarei arredondamentos finais apropriados depois).
Passo 3
Definir e explicar o desvio padrão amostral (o estimador usual para dispersão das medidas).
- Para um conjunto de
medições com possíveis repetições, o desvio padrão amostral (estimador de ) é dado por
Explicação: subtrai-se a média para obter os desvios, eleva-se ao quadrado para tornar positivos e somam-se ponderando pelas frequências; divide-se por
para obter o estimador não viciado da variância.
Agora calculo cada termo
, seu quadrado e a contribuição
. Usarei
.
Somando as contribuições:
Agora a variância amostral:
E o desvio padrão amostral:
Interpretação curta: as medições têm dispersão típica de cerca de
.]
Passo 4
Apresento o valor arredondado do desvio padrão pedido em (a) e comento a escolha do estimador.
- Como se pediu o “desvio padrão
da medida” e temos amostra finita de , o procedimento padrão é usar o desvio padrão amostral (estimador não viciado). Portanto
(Arredondei para três algarismos significativos na parte decimal, compatível com a precisão das medidas.)
Passo 5
Erro estatístico (erro do valor médio) — definição, fórmula e cálculo.
- O erro estatístico associado à média (também chamado erro padrão da média) mede a incerteza do valor médio devido à dispersão das medições e é dado por
onde
é o desvio padrão amostral e
o número de medições.
Cálculo numérico:
Arredondando convenientemente:
Comentário amigável: isso diz que, pela variação estatística das 12 leituras, a média está conhecida com incerteza cerca de
.
Passo 6
Erro sistemático (incerteza instrumental) — explicação e valor.
- A régua é “milimetrada”: a menor divisão é
. A incerteza típica de leitura por uma régua é aproximadamente metade da menor divisão (quando se lê a olho), isto é,
Observação: este é um erro sistemático/instrumental, não decresce com o número de medições.
Passo 7
Combinar erros estatístico e sistemático para obter a incerteza total (absoluta) — justificativa e cálculo.
- Quando há uma componente estatística (aleatória) e uma sistemática independentes, uma forma razoável de obter a incerteza total é combiná-las em quadratura:
porque variâncias independentes somam.
Cálculo numérico:
Arredondando adequadamente:
Passo 8
Incertezas absolutas e incerteza relativa percentual — explicação e cálculo.
-
Incertezas absolutas pedidas (vou listar):
- erro estatístico (absoluto):
; - erro sistemático (absoluto):
; - incerteza total (absoluta):
(ou, por conveniência de relatório, ).
- erro estatístico (absoluto):
-
Incerteza relativa percentual (usando a incerteza total):
Cálculo:
Para efeito de comparação, a incerteza relativa apenas estatística seria
Passo 9
Escrever a medida na forma de intervalo e comentar arredondamento.
- Normalmente apresentamos a média com a mesma ordem de grandeza da incerteza. A incerteza total é
(duas casas decimais). Então escrevemos a medida como
Isto corresponde ao intervalo numérico
Breve encorajamento: vimos que o erro sistemático da régua domina a incerteza, por isso fazer mais medidas sem melhorar o instrumento não reduz muito o erro total — é um ponto importante para a hora da prova e do laboratório!
Resposta
a)
b) erro estatístico ; erro sistemático
c) incertezas absolutas: estatística , sistemática
, total
. Incerteza relativa percentual (total)
d) que corresponde ao intervalo
b) erro estatístico
c) incertezas absolutas: estatística
d)