A que distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado, de raio R, o módulo do campo elétrico é igual à metade do módulo do campo elétrico no centro do disco? R: R / raiz3.

Passo 1

Vamos analisar o problema: queremos encontrar a distância ao longo do eixo de um disco uniformemente carregado onde o campo elétrico é metade do campo no centro do disco. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática relacionados ao campo elétrico de discos carregados.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como calcular o campo elétrico no centro do disco. Para um disco de raio Ecentro = sigma2epsilon0 e carga uniformemente distribuída, o campo elétrico no centro é dado por:
onde é a densidade superficial de carga e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos determinar o campo elétrico a uma distância E(x) = sigma2epsilon0 (1 - xraizx^2 + R^2) ao longo do eixo do disco. A expressão para o campo elétrico em qualquer ponto ao longo do eixo de um disco carregado é:
Essa fórmula leva em conta a contribuição de cada elemento de carga no disco para o campo total no ponto considerado.

Passo 4

Queremos encontrar a distância E(x) = 12 Ecentro onde o campo elétrico sigma2epsilon0 (1 - xraizx^2 + R^2) = 12 (sigma2epsilon0) é metade do campo no centro, ou seja:
Substituindo as expressões dos campos, temos:

Passo 5

Simplificando a equação acima:
1 - xraizx^2 + R^2 = 12
Isolando o termo com xraizx^2 + R^2 = 12 :

Passo 6

Agora, vamos resolver para (xraizx^2 + R^2)^2 = (12)^2 . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2x^2 + R^2 = 14

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por x^2 = 14(x^2 + R^2) :
x^2 = x^24 + R^24
Distribuindo o :

Passo 8

Isolando x^2 - x^24 = R^24 :
3x^24 = R^24
3x^2 = R^2
Multiplicando ambos os lados por 4:
x^2 = R^23
Dividindo por 3:

Passo 9

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
x = Rraiz3

Resposta

A distância ao longo do eixo onde o campo elétrico é metade do campo no centro do disco é .

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