A que distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado, de raio R, o módulo do campo elétrico é igual à metade do módulo do campo elétrico no centro do disco? R:
.
Passo 1
Vamos analisar o problema: queremos encontrar a distância ao longo do eixo de um disco uniformemente carregado onde o campo elétrico é metade do campo no centro do disco. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática relacionados ao campo elétrico de discos carregados.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber como calcular o campo elétrico no centro do disco. Para um disco de raio
e carga uniformemente distribuída, o campo elétrico no centro é dado por:
onde
é a densidade superficial de carga e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, vamos determinar o campo elétrico a uma distância
ao longo do eixo do disco. A expressão para o campo elétrico em qualquer ponto ao longo do eixo de um disco carregado é:
Essa fórmula leva em conta a contribuição de cada elemento de carga no disco para o campo total no ponto considerado.
Passo 4
Queremos encontrar a distância
onde o campo elétrico
é metade do campo no centro, ou seja:
Substituindo as expressões dos campos, temos:
Passo 5
Simplificando a equação acima:
Isolando o termo com
:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Passo 8
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Dividindo por 3:
Passo 9
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A distância ao longo do eixo onde o campo elétrico é metade do campo no centro do disco é
.