Qual é a distância do ponto A(\cos a, \operatorname{sen} a) ao ponto B(\operatorname{sen} a,-\cos a) ?

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no plano e pede a distância entre eles.
Pontos fornecidos: \,A(\cos a,\;\operatorname{sen} a)\, e \,B(\operatorname{sen} a,\;-\cos a)\,.
Pergunta: qual é a distância entre A e B?

Passo 2

Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos \,P_1(x_1,y_1)\, e \,P_2(x_2,y_2)\,, a distância d entre eles é dada por
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Aqui x_1,y_1,x_2,y_2 representam as coordenadas dos pontos: x_1 e y_1 são as coordenadas de P_1, x_2 e y_2 as de P_2. Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras: a diferença em x e a diferença em y são os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa.

Passo 3

Identificamos as coordenadas de A e B:
x_1=\cos a,\quad y_1=\operatorname{sen} a,\quad x_2=\operatorname{sen} a,\quad y_2=-\cos a.
Calculamos as diferenças:
x_2-x_1=\operatorname{sen} a-\cos a,
y_2-y_1=-\cos a-\operatorname{sen} a=-(\cos a+\operatorname{sen} a).

Passo 4

Substituímos na fórmula da distância e elevamos ao quadrado os termos:
d=\sqrt{(\operatorname{sen} a-\cos a)^2+[-(\cos a+\operatorname{sen} a)]^2}.
Como [-(\cos a+\operatorname{sen} a)]^2=(\cos a+\operatorname{sen} a)^2, temos
d=\sqrt{(\operatorname{sen} a-\cos a)^2+(\operatorname{sen} a+\cos a)^2}.

Passo 5

Expandimos as duas expressões quadradas (vai dar uma conta simples):
(\operatorname{sen} a-\cos a)^2=(\operatorname{sen}^2 a)-2\operatorname{sen} a\cos a+\cos^2 a,
(\operatorname{sen} a+\cos a)^2=(\operatorname{sen}^2 a)+2\operatorname{sen} a\cos a+\cos^2 a.
Somando as duas:
(\operatorname{sen} a-\cos a)^2+(\operatorname{sen} a+\cos a)^2 =2\operatorname{sen}^2 a+2\cos^2 a.

Passo 6

Usamos a identidade trigonométrica fundamental que diz que, para todo a,
\operatorname{sen}^2 a+\cos^2 a=1.
Substituindo na expressão anterior:
2\operatorname{sen}^2 a+2\cos^2 a=2(\operatorname{sen}^2 a+\cos^2 a)=2\cdot 1=2.
Portanto
d=\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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