A distância do ponto
ao ponto
é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Ponto
tem coordenadas ; aqui é a abscissa (a coordenada ) que precisamos determinar. - Ponto
tem coordenadas . - A distância entre
e é igual a . - Pergunta: determine o(s) valor(es) de
que satisfaz(em) essas condições.
Passo 2
Vamos recordar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e por que ela funciona (mini-aula rápida, sem susto).
- Se temos dois pontos
e , a diferença nas abscissas é e a diferença nas ordenadas é . - Esses dois segmentos formam os catetos de um triângulo retângulo cujo hipotenusa é a distância entre os pontos. Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos.
- Portanto a fórmula da distância
é
Aqui
é um número não negativo;
são as coordenadas dos pontos.
Passo 3
Aplique a fórmula aos pontos dados. Tome
e
. A condição é que a distância vale
, ou seja
Passo 4
Simplifique a expressão dentro da raiz:
-
. -
.
Logo
Passo 5
Agora resolvemos a equação com raiz quadrada. Como ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem perder soluções:
Subtraindo
dos dois lados:
Passo 6
Para encontrar
extraímos raiz quadrada de ambos os lados. Lembre que ao resolver
temos duas soluções, positiva e negativa:
Simplificando
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): substituindo
,
Para
o quadrado é o mesmo, então a distância também dá
. Ambas as soluções são válidas.