A distância do ponto A(a, 1) ao ponto B(0,2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Ponto A tem coordenadas (a,1); aqui a é a abscissa (a coordenada x) que precisamos determinar.
  • Ponto B tem coordenadas (0,2).
  • A distância entre A e B é igual a 3.
  • Pergunta: determine o(s) valor(es) de a que satisfaz(em) essas condições.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e por que ela funciona (mini-aula rápida, sem susto).
  • Se temos dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), a diferença nas abscissas é (x_2-x_1) e a diferença nas ordenadas é (y_2-y_1).
  • Esses dois segmentos formam os catetos de um triângulo retângulo cujo hipotenusa é a distância entre os pontos. Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos.
  • Portanto a fórmula da distância d é
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Aqui d é um número não negativo; x_1,x_2,y_1,y_2 são as coordenadas dos pontos.

Passo 3

Aplique a fórmula aos pontos dados. Tome (x_1,y_1)=(a,1) e (x_2,y_2)=(0,2). A condição é que a distância vale 3, ou seja
3=\sqrt{(0-a)^2+(2-1)^2}.

Passo 4

Simplifique a expressão dentro da raiz:
  • (0-a)^2=a^2.
  • (2-1)^2=1^2=1.
Logo
3=\sqrt{a^2+1}.

Passo 5

Agora resolvemos a equação com raiz quadrada. Como ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem perder soluções:
3^2 = (\sqrt{a^2+1})^2 \quad\Rightarrow\quad 9 = a^2+1.
Subtraindo 1 dos dois lados:
a^2 = 8.

Passo 6

Para encontrar a extraímos raiz quadrada de ambos os lados. Lembre que ao resolver a^2=8 temos duas soluções, positiva e negativa:
a=\pm\sqrt{8}.
Simplificando \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}, obtemos
a=2\sqrt{2}\quad\text{ou}\quad a=-2\sqrt{2}.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): substituindo a=2\sqrt{2},
\sqrt{(2\sqrt{2})^2+1}=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3.
Para a=-2\sqrt{2} o quadrado é o mesmo, então a distância também dá 3. Ambas as soluções são válidas.

Resposta

a=2\sqrt{2}
a=-2\sqrt{2}

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