Mostre que as retas
\begin{array}{lll} x=-2+t, & y=3+2 t, & z=4-t \\\ x=3-t, & y=4-2 t, & z=t \end{array}
são paralelas e obtenha uma equação do plano que elas determinam.

Passo 1

O enunciado dá duas retas por equações paramétricas:
\begin{array}{lll} x=-2+t, & y=3+2t, & z=4-t \end{array}
e
\begin{array}{lll} x=3-t, & y=4-2t, & z=t. \end{array}
As perguntas são:
  • Mostrar que as retas são paralelas.
  • Obter uma equação do plano que contém as duas retas (ou seja, o plano que elas determinam).
Informações extraídas do enunciado que vamos usar explicitamente:
  • Da primeira reta, ao variar t obtemos um vetor direção e um ponto: um ponto é P_1=(-2,3,4) (para t=0) e o vetor direção é v_1=(1,2,-1) (coeficientes de t).
  • Da segunda reta, um ponto é P_2=(3,4,0) (para t=0) e o vetor direção é v_2=(-1,-2,1) (coeficientes de -t).

Passo 2

Identificar e comparar os vetores direção para testar paralelismo.
  • Vetor direção da primeira reta:
v_1=(1,2,-1).
  • Vetor direção da segunda reta:
v_2=(-1,-2,1).
Para verificar se são paralelos, basta ver se um é múltiplo escalar do outro. Observa-se que
v_2 = -1\cdot v_1,
pois multiplicando cada componente de v_1 por -1 obtemos (-1,-2,1). Logo v_2 é múltiplo escalar de v_1, o que significa que as direções são colineares.
Portanto, as retas são paralelas (podem ser coincidentes ou distintas; isso ainda será verificado).

Passo 3

Verificar se as retas são coincidentes ou distintas (se são paralelas distintas, então determinam um plano).
Pegamos um ponto de cada reta: P_1=(-2,3,4) da primeira e P_2=(3,4,0) da segunda. Considere o vetor que liga P_1 a P_2:
w = P_2 - P_1 = (3-(-2),\,4-3,\,0-4) = (5,1,-4).
Se as retas fossem coincidentes, o vetor w deveria ser paralelo ao vetor direção v_1, ou seja, existir k\in\mathbb{R} tal que w=k v_1. Comparando componentes:
(5,1,-4) = k(1,2,-1)
daria k=5 pela primeira componente, k=\tfrac{1}{2} pela segunda componente; como esses valores não coincidem, não existe tal k. Logo w não é múltiplo de v_1.
Conclusão: as retas são paralelas e distintas — portanto determinam um plano único que contém ambas.

Passo 4

Estratégia para achar a equação do plano: tomar um ponto do plano (por exemplo P_1) e obter um vetor normal ao plano. Um vetor normal n pode ser obtido como o produto vetorial entre dois vetores não colineares do plano. Usamos v_1 (direção comum das retas) e w (vetor de ligação entre pontos das retas). Assim
n = v_1 \times w.
Explico rapidinho o porquê: o produto vetorial a\times b gera um vetor perpendicular a ambos a e b; sendo v_1 e w vetores contidos no plano, seu produto vetorial é um vetor normal ao plano.

Passo 5

Calcular o produto vetorial passo a passo.
Com
v_1=(1,2,-1),\qquad w=(5,1,-4),
o produto vetorial é dado pelo determinante da matriz formal:
v_1\times w= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ 5 & 1 & -4 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
  • Componente \mathbf{i}:
\mathbf{i}\big(2\cdot(-4) - (-1)\cdot 1\big) = \mathbf{i}(-8 +1)=\mathbf{i}(-7).
  • Componente \mathbf{j} (atenção ao sinal negativo na fórmula):
-\mathbf{j}\big(1\cdot(-4) - (-1)\cdot 5\big) = -\mathbf{j}(-4 +5)= -\mathbf{j}(1)=\mathbf{j}(-1).
  • Componente \mathbf{k}:
\mathbf{k}\big(1\cdot 1 - 2\cdot 5\big)=\mathbf{k}(1-10)=\mathbf{k}(-9).
Portanto
n = v_1\times w = (-7,-1,-9).
Podemos multiplicar n por -1 para ficar com valores positivos simples:
n = (7,1,9)
é também um vetor normal ao plano (multiplicar por escalar não altera a direção).

Passo 6

Escrever a equação do plano usando a forma ponto-normal.
A equação ponto-normal do plano com normal n=(a,b,c) passando por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Escolhendo n=(7,1,9) e o ponto P_1=(-2,3,4), obtemos
7(x-(-2)) + 1(y-3) + 9(z-4) = 0.
Expandindo e simplificando:
7(x+2) + (y-3) + 9(z-4) = 0,
7x +14 + y -3 + 9z -36 = 0,
7x + y + 9z -25 = 0.
Essa é a equação cartesiana do plano procurado.

Passo 7

Verificação rápida (para dar confiança): checar que um ponto de cada reta satisfaz a equação.
  • Para P_1=(-2,3,4):
7(-2) + 3 + 9(4) -25 = -14 +3 +36 -25 = 0.
  • Para P_2=(3,4,0):
7\cdot 3 + 4 + 9\cdot 0 -25 = 21 +4 -25 = 0.
Ambos estão no plano, como deveria ser.

Resposta

As retas são paralelas.
7x + y + 9z - 25 = 0

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