Obter uma equação do plano que contém as duas retas (ou seja, o plano que elas determinam).
Informações extraídas do enunciado que vamos usar explicitamente:
Da primeira reta, ao variar t obtemos um vetor direção e um ponto: um ponto é P_1=(-2,3,4) (para t=0) e o vetor direção é v_1=(1,2,-1) (coeficientes de t).
Da segunda reta, um ponto é P_2=(3,4,0) (para t=0) e o vetor direção é v_2=(-1,-2,1) (coeficientes de -t).
Passo 2
Identificar e comparar os vetores direção para testar paralelismo.
Vetor direção da primeira reta:
v_1=(1,2,-1).
Vetor direção da segunda reta:
v_2=(-1,-2,1).
Para verificar se são paralelos, basta ver se um é múltiplo escalar do outro. Observa-se que
v_2 = -1\cdot v_1,
pois multiplicando cada componente de v_1 por -1 obtemos (-1,-2,1). Logo v_2 é múltiplo escalar de v_1, o que significa que as direções são colineares.
Portanto, as retas são paralelas (podem ser coincidentes ou distintas; isso ainda será verificado).
Passo 3
Verificar se as retas são coincidentes ou distintas (se são paralelas distintas, então determinam um plano).
Pegamos um ponto de cada reta: P_1=(-2,3,4) da primeira e P_2=(3,4,0) da segunda. Considere o vetor que liga P_1 a P_2:
w = P_2 - P_1 = (3-(-2),\,4-3,\,0-4) = (5,1,-4).
Se as retas fossem coincidentes, o vetor w deveria ser paralelo ao vetor direção v_1, ou seja, existir k\in\mathbb{R} tal que w=k v_1. Comparando componentes:
(5,1,-4) = k(1,2,-1)
daria k=5 pela primeira componente, k=\tfrac{1}{2} pela segunda componente; como esses valores não coincidem, não existe tal k. Logo w não é múltiplo de v_1.
Conclusão: as retas são paralelas e distintas — portanto determinam um plano único que contém ambas.
Passo 4
Estratégia para achar a equação do plano: tomar um ponto do plano (por exemplo P_1) e obter um vetor normal ao plano. Um vetor normal n pode ser obtido como o produto vetorial entre dois vetores não colineares do plano. Usamos v_1 (direção comum das retas) e w (vetor de ligação entre pontos das retas). Assim
n = v_1 \times w.
Explico rapidinho o porquê: o produto vetorial a\times b gera um vetor perpendicular a ambos a e b; sendo v_1 e w vetores contidos no plano, seu produto vetorial é um vetor normal ao plano.
Passo 5
Calcular o produto vetorial passo a passo.
Com
v_1=(1,2,-1),\qquad w=(5,1,-4),
o produto vetorial é dado pelo determinante da matriz formal: