Se a distância entre o primeiro e o décimo minimo de uma figura de interferência de dupla fenda é
, a distância entre as fendas é
e a tela está a
das fendas, qual é o comprimento de onda da luz?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- A distância entre o primeiro e o décimo mínimo da figura é
. - A distância entre as fendas é
. - A tela está a
das fendas.
- A distância entre o primeiro e o décimo mínimo da figura é
-
O que se pede:
- Determinar o comprimento de onda da luz
.
- Determinar o comprimento de onda da luz
Passo 2
Entendendo as fórmulas essenciais (passo-a-passo e sem pular etapas).
- Condição de mínimos de interferência para dupla fenda:
onde:
-
é a separação entre as fendas (em metros), -
é o ângulo que a direção do mínimo faz com a normal à fenda, -
é a ordem do mínimo ( ), -
é o comprimento de onda (o que queremos). -
Posição do mínimo na tela (distância vertical à partir do centro):
onde:
-
é a distância fendas–tela, -
é o ângulo do -ésimo mínimo.
Explicando porquê usamos essas fórmulas:
- A primeira vem da diferença de caminho entre as ondas vindas das duas fendas: para um mínimo de interferência, a diferença de caminho deve ser um semi-número inteiro de comprimentos de onda, daí o
. - A segunda relaciona o ângulo
com a posição na tela: é trigonometria simples no triângulo formado pela posição do ponto na tela, a distância até as fendas e a linha central.
Passo 3
Obter uma relação prática entre a diferença de posições na tela e
.
Queremos a distância entre o primeiro e o décimo mínimo:
. Usando as fórmulas acima:
-
De
temos os dois sines: -
Em termos de
: . Portanto
Essa é a expressão exata. Para simplificar e obter uma fórmula direta (muito usada em provas) costuma-se fazer a aproximação de ângulo pequeno:
. Sob essa aproximação obtemos
e então
Isolando
:
Observação didática rápida: a aproximação de ângulo pequeno é válida quando os ângulos não são muito grandes. Mais adiante eu faço um ajuste numérico sem essa aproximação para ver a diferença.
Passo 4
Converter unidades e aplicar a fórmula aproximada passo a passo (sem pular contas).
-
Converter para metros (tudo em notação TeX):
-
-
Usando a fórmula aproximada
: Calculemos o numerador e denominador separadamente:
Portanto
Isso dá, pela aproximação de ângulo pequeno,
(ou
).
Passo 5
Verificação da validade da aproximação e cálculo mais preciso (sem aproximar
) — ensino de como fazer uma correção numérica simples.
-
A expressão exata que devemos satisfazer écomPara resolver sem aproximação, substitui-se
e calcula-se numericamente que satisfaz a igualdade. -
Simplificando os fatores numéricos (útil para calcular):porque
e . -
Fazendo uma busca numérica (método simples: testar valores de
e ajustar): - Teste rápido com
dá calculada (20{,}15 cm), maior que : a aproximação superestimou um pouco. - Ajustando por iteração encontra-se o valor que satisfaz exatamente a equação:
.
- Teste rápido com
-
Interpretação: a diferença entre a aproximação e a solução exata é moderada (alguns por cento) porque o ângulo do décimo mínimo não é extremamente pequeno. Para uma resposta mais precisa, usamos o valor numérico exato.
Passo 6
Resumo final e incentivo.
- A forma direta e rápida (aproximação de ângulo pequeno) dá
. - A solução mais precisa (resolvendo a relação exata com
e ) dá .
No contexto de provas, se o enunciado espera o método padrão com a aproximação de ângulo pequeno, use a fórmula direta e mostre as conversões de unidade como fiz; se quiser maior precisão, justifique a solução numérica exata como eu apresentei. Força aí — já tens a ideia e o cálculo completo!