5^{9} ) A reflexão de luz branca por uma película fina de um polímero, suspenso no ar, de índice de refração igual a 1,5, apresenta um máximo de referència em 600 nm e o mínimo mais próximo está em 450 nm . Qual é a espessura da película?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei estes números do enunciado):
  • Filme fino de polímero suspenso no ar, índice de refração n=1{,}5.
  • Reflexão mostra um máximo em 600\\ \text{nm}.
  • O mínimo mais próximo desse máximo está em 450\\ \text{nm}.
    O que o problema pede: determinar a espessura da película t.

Passo 2

Vamos entender a física e as condições de interferência (passo-a-passo, sem pular etapas).
Quando a luz branca incide na superfície do filme há duas reflexões principais que interferem:
  1. Reflexão na face superior (ar \to filme). Como o índice sobe de n_{\text{ar}}=1 para n_{\text{filme}}=1{,}5, a onda refletida na superfície superior sofre uma inversão de fase de \pi (meia onda).
  2. Reflexão na face inferior (filme \to ar). Aqui o índice cai ( 1{,}5 \to 1), então NÃO há inversão de fase nessa reflexão.
Além da inversão, há uma diferença de caminho óptico entre os dois feixes devido à ida e volta através do filme. A diferença de fase associada a esse caminho é
\Delta\phi_{\text{caminho}}=\frac{4\pi n t}{\lambda},
onde n é o índice do filme, t a espessura e \lambda o comprimento de onda no ar (ou no vácuo) considerado.
Como só uma das reflexões sofreu inversão, existe uma fase adicional de \pi. Assim a diferença de fase total entre os dois feixes é
\Delta\varphi=\frac{4\pi n t}{\lambda}+\pi.
Condições de interferência para a luz refletida:
  • Máximo (interferência construtiva): a diferença de fase total deve ser um múltiplo inteiro de 2\pi. Assim
\frac{4\pi n t}{\lambda}+\pi=2\pi m,\quad m\in\mathbb{Z}.
Dividindo por 2\pi e rearranjando obtemos a forma prática
\boxed{\,2 n t = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda\,}
onde m é inteiro (ordem do máximo).
  • Mínimo (interferência destrutiva): a diferença de fase total deve ser um múltiplo ímpar de \pi (ou seja, 2\pi vezes meio-inteiro). A fórmula simplificada fica
\boxed{\,2 n t = k\,\lambda\,}
onde k é inteiro (ordem do mínimo), porque a \pi extra já faz com que a condição de caminho para mínimo seja um inteiro de \lambda.
Resumo das variáveis:
  • n: índice do filme ( 1{,}5 dado).
  • t: espessura a encontrar.
  • \lambda: comprimento de onda no ar (valor dado: 600\\ \text{nm} para máximo, 450\\ \text{nm} para mínimo).
  • m,k: inteiros (ordens dos máximos e mínimos).

Passo 3

Agora aplicamos as fórmulas aos comprimentos de onda dados.
Para o máximo em 600\\ \text{nm} vale
2 n t = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\,600\\ \text{nm}.
Para o mínimo mais próximo em 450\\ \text{nm} vale
2 n t = k\,450\\ \text{nm}.
Como ambos representam o mesmo 2 n t, igualamos:
\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\,600 = k\,450.
Dividindo por 150 (para simplificar):
\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\,4 = k\,3,
ou
4m+2 = 3k.
Precisamos achar inteiros m,k que satisfaçam essa relação. Além disso o mínimo dado é o “mais próximo” do máximo em 600\\ \text{nm}, então devemos escolher as ordens pequenas que correspondam ao mínimo espectral adjacente.
Testando valores pequenos de m:
  • Para m=0: 4m+2=2 3k=2 k não inteiro.
  • Para m=1: 4m+2=6 3k=6 k=2, inteiro. Isso é consistente e corresponde a ordens pequenas (próximas), portanto é a escolha natural para o mínimo mais próximo.
    Portanto m=1 e k=2.

Passo 4

Com m=1 usamos a expressão do máximo para obter 2 n t:
2 n t = \left(1+\tfrac{1}{2}\right)\,600\\ \text{nm} = \tfrac{3}{2}\cdot600\\ \text{nm} = 900\\ \text{nm}.
Substituindo n=1{,}5 e isolando t:
t=\frac{900\\ \text{nm}}{2n}=\frac{900\\ \text{nm}}{2\cdot1{,}5}=\frac{900\\ \text{nm}}{3}=300\\ \text{nm}.

Passo 5

Verificação rápida (sanity check): usando a condição do mínimo com k=2,
2 n t = k\,450\\ \text{nm}=2\cdot450\\ \text{nm}=900\\ \text{nm},
coincide com o valor anterior — consistência confirmada.

Resposta

t = 300\\ \text{nm}

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