A distância entre o primeiro e o quarto mínimo de uma figura de difração de uma fenda simples é 0,6 \mathrm{~mm}, com a tela a 80 cm de distância da fenda, quando é utilizada uma luz com um comprimento de onda de 600 nm . Determine a largura da fenda. (Resp: 240 \mu \mathrm{~m} )

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pergunta o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • distância entre o primeiro e o quarto mínimo: \Delta y = 0,6\\ \mathrm{mm};
    • distância da fenda à tela: L = 80\\ \mathrm{cm};
    • comprimento de onda da luz: \lambda = 600\\ \mathrm{nm}.
  • Pergunta: determinar a largura da fenda a.
Observação: todos os dados acima vieram do enunciado enviado por você.

Passo 2

Regra básica para mínimos de difração por uma fenda simples: a condição para o m-ésimo mínimo é
a \sin\theta_m = m\,\lambda,
onde:
  • a é a largura da fenda (o que queremos achar),
  • \theta_m é o ângulo, medido a partir da direção central, do m-ésimo mínimo,
  • m é um inteiro positivo ( m=1,2,3,\dots),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz.
Explicação didática: essa fórmula surge impondo que as ondas vindas de pontos diferentes da fenda se cancelem na direção \theta_m; o fator m conta quantas “meias-ondas” cabem nessa diferença de caminho.

Passo 3

Posição dos mínimos na tela: se o mínimo m aparece a uma distância vertical y_m do eixo central na tela a distância L, então
y_m = L \tan\theta_m.
Para ângulos pequenos (situação típica quando L é muito maior que y_m) usamos a aproximação pequena que facilita muito: \tan\theta \approx \sin\theta \approx \theta. Então
y_m \approx L \sin\theta_m.
Explicação didática: a aproximação pequena significa que o ângulo em radianos é aproximadamente igual ao seno e à tangente — isso vale bem quando \theta está em poucas dezenas de graus ou menos; na prática aqui é válido.

Passo 4

Substituindo \sin\theta_m da condição dos mínimos na expressão para y_m, obtemos (aproximação de ângulo pequeno)
y_m \approx L \frac{m\lambda}{a} = \frac{m\lambda L}{a}.
Isto é, as posições dos mínimos crescem linearmente com m.

Passo 5

A distância entre o quarto e o primeiro mínimo (ambos no mesmo lado do máximo central) é
\Delta y = y_4 - y_1 = \frac{4\lambda L}{a} - \frac{1\lambda L}{a} = \frac{3\lambda L}{a}.
Isolando a,
a = \frac{3\lambda L}{\Delta y}.
Explicação didática: usamos que os mínimos têm posições proporcionais a m, então a diferença entre índices é (4-1)=3.

Passo 6

Agora substituímos os valores (convertendo unidades para o SI):
  • \lambda = 600\\ \mathrm{nm} = 600\times 10^{-9}\\ \mathrm{m},
  • L = 80\\ \mathrm{cm} = 0,80\\ \mathrm{m},
  • \Delta y = 0,6\\ \mathrm{mm} = 0,6\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Cálculo passo a passo:
a = \frac{3\lambda L}{\Delta y} = \frac{3 \cdot (600\times10^{-9})\cdot(0,80)}{0,6\times10^{-3}}.
Compute primeiro o numerador:
3\cdot 600\times10^{-9}\cdot 0,80 = 3 \cdot 480\times10^{-9} = 1440\times10^{-9} = 1{,}44\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Agora divida pelo denominador:
a = \frac{1{,}44\times10^{-6}}{0,6\times10^{-3}} = \frac{1{,}44\times10^{-6}}{6\times10^{-4}} = 2{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para unidades práticas:
a = 2{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 2{,}4\\ \mathrm{mm} = 2400\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 7

Comentário sobre a resposta que você colocou entre parênteses: a solução acima, usando exatamente os dados do enunciado ( L=80\\ \mathrm{cm}), dá a=2{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m} (ou 2{,}4\\ \mathrm{mm}). Para obter a=240\\ \mu\mathrm{m} seria necessário que a distância à tela fosse L=8\\ \mathrm{cm} em vez de 80\\ \mathrm{cm} — com L=0,08\\ \mathrm{m} o cálculo dá
a = \frac{3\cdot 600\times10^{-9}\cdot 0,08}{0,6\times10^{-3}} = 2{,}4\times10^{-4}\\ \mathrm{m} = 240\\ \mu\mathrm{m}.
Ou seja, o valor fornecido como resposta corresponde a L=8\\ \mathrm{cm}. Se os dados do enunciado realmente têm L=80\\ \mathrm{cm}, a largura é 2{,}4\\ \mathrm{mm}; se houve um erro de digitação e L é 8\\ \mathrm{cm}, então a largura é 240\\ \mu\mathrm{m}.

Resposta

Usando L=80\\ \mathrm{cm}: a = 2{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 2{,}4\\ \mathrm{mm} = 2400\\ \mu\mathrm{m}.
Se L=8\\ \mathrm{cm} (possível correção), então a = 2{,}4\times10^{-4}\\ \mathrm{m} = 240\\ \mu\mathrm{m}.

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