Uma onda de comprimento \lambda incide sobre um experimento de dupla fenda, cuja a distância entre as fendas é dada por d=4,7 \lambda.
(a) Qual o número máximo de franjas brilhantes e escuras em um anteparo situado paralelamente ao eixo das fendas e a uma distância L ?
(b) Qual a distância entre os dois máximos adjacentes e entre os dois mínimos adjacentes?
(c) Qual o ângulo do segundo máximo?
(d) Qual o ângulo do terceiro mínimo?
(e) Se a fenda dupla for trocada por uma fenda simples de com abertura de largura igual a distância da fenda dupla, quantos mínimos seriam observados no anteparo? Qual o ângulo do terceiro mínimo?

Passo 1

O enunciado dá a distância entre as duas fendas e pede várias coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido.
Dado:
d=4,7\lambda
Perguntas (a)–(e):
(a) Quantas franjas brilhantes e quantas franjas escuras (mínimos) podem, no máximo, ser vistas num anteparo paralelo ao eixo das fendas e a uma distância L?
(b) Qual a distância entre dois máximos adjacentes e qual a distância entre dois mínimos adjacentes no anteparo?
(c) Qual o ângulo do segundo máximo?
(d) Qual o ângulo do terceiro mínimo?
(e) Se a dupla fenda for trocada por uma fenda simples com largura a igual a d, qual o número de mínimos observáveis no anteparo? Qual o ângulo do terceiro mínimo nesse caso?

Passo 2

Regra para máximos (franjas brilhantes) — explicação didática:
A condição geral para que ocorra um máximo de interferência é que a diferença de caminho entre as ondas vindas das duas fendas seja um múltiplo inteiro da comprimento de onda. Essa condição se escreve
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é a separação entre fendas (aqui d=4,7\lambda),
  • \theta é o ângulo medido a partir da direção perpendicular ao anteparo (normal),
  • m é um número inteiro (ordem do máximo): m=0,\pm1,\pm2,\dots.
Por que isso limita o número de máximos? Porque \sin\theta só pode ter valores entre -1 e +1. Logo,
|m| \le \frac{d}{\lambda}.
Com d/\lambda=4,7 temos |m|\le 4{,}7, ou seja os valores inteiros possíveis são m= -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. Contando esses valores dá 2\cdot 4 + 1 = 9 máximos visíveis no total (centro mais 4 de cada lado).

Passo 3

Regra para mínimos (franjas escuras) — explicação didática:
A condição para mínimos de interferência (escuras) acontece quando a diferença de caminhos vale um semi-múltiplo ímpar da onda:
d\sin\theta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,
onde m é inteiro (…, -2,-1,0,1,2,\dots). Novamente exigimos |\sin\theta|\le 1, portanto
\left|m+\tfrac{1}{2}\right| \le \frac{d}{\lambda}=4{,}7.
Isto equivale a
-4{,}7 \le m+\tfrac{1}{2} \le 4{,}7
ou
-5{,}2 \le m \le 4{,}2.
Os inteiros m que satisfazem isso são m=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 — são 10 valores. Logo, o número máximo de mínimos visíveis no anteparo é 10.
Resumo até aqui:
  • Máximos (franjas brilhantes): 9.
  • Mínimos (franjas escuras): 10.

Passo 4

Distância entre máximos adjacentes (franjas espaciais no anteparo) — dedução passo a passo:
Posições no anteparo: para um máximo de ordem m o ângulo é dado por
\sin\theta_m=\frac{m\lambda}{d}.
Se o anteparo estiver a uma distância L grande relativamente à separação d, podemos definir a coordenada vertical y_m da franja pelo triângulo: \tan\theta_m \simeq \dfrac{y_m}{L}. Para ângulos pequenos usamos a aproximação habitual (explico por que isso é válido: quando \theta é pequeno, \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta em radianos), então
y_m \simeq L\sin\theta_m = L\frac{m\lambda}{d}.
A distância entre dois máximos adjacentes m e m+1 é então
\Delta y_{\text{máx}} = y_{m+1}-y_m \simeq L\frac{(m+1)\lambda}{d}-L\frac{m\lambda}{d} = \frac{\lambda L}{d}.á
Portanto a separação entre máximos adjacentes é
\boxed{\Delta y_{\text{máx}}=\dfrac{\lambda L}{d}.}á
Distância entre mínimos adjacentes:
Para mínimos consecutivos a condição é d\sin\theta=(m+\tfrac{1}{2})\lambda. Repetindo o mesmo raciocínio (posição y\approx L\sin\theta) obtemos diferença entre dois mínimos consecutivos também igual a \dfrac{\lambda L}{d}. Conclusão: a separação entre mínimos adjacentes é a mesma:
\boxed{\Delta y_{\text{mín}}=\dfrac{\lambda L}{d}.}í

Passo 5

Ângulo do segundo máximo — interpretação e cálculo:
Interpreto “segundo máximo” como o máximo de ordem m=2 (ou seja, o segundo máximo fora do máximo central). A fórmula de máximos é
\sin\theta_m=\frac{m\lambda}{d}.
Para m=2 e d=4,7\lambda temos
\sin\theta_2=\frac{2\lambda}{4,7\lambda}=\frac{2}{4,7}=0,4255319\ldots
Logo
\theta_2=\arcsin\!\left(\frac{2}{4,7}\right).
Calculando numericamente (arredondando sensatamente) dá
\theta_2 \approx 25{,}2^\circ.

Passo 6

Ângulo do terceiro mínimo — interpretação e cálculo:
Interpretando “terceiro mínimo” como o terceiro mínimo a partir do centro (ou seja, contar 1^\text{o}, 2^\text{o}, 3^\text{o} na mesma metade do padrão), os mínimos satisfazem
d\sin\theta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,
com m=0 para o primeiro mínimo (mais próximo do centro), m=1 para o segundo, m=2 para o terceiro mínimo. Portanto para o terceiro mínimo usamos m=2:
\sin\theta = \frac{2+\tfrac{1}{2}}{4{,}7}=\frac{2{,}5}{4{,}7}=0,5319149\ldots
Assim
\theta_{\text{3º mín}}=\arcsin\!\left(\frac{2{,}5}{4{,}7}\right)\approx 32{,}2^\circ.ºí

Passo 7

Caso da fenda simples com largura a=d — quantos mínimos e ângulo do 3º mínimo:
Regra para mínimos de difração de uma única fenda (didática):
Para uma fenda simples de largura a os mínimos principais ocorrem quando a diferença de fase entre ondas vindas de duas margens opostas produz cancelamento, e a condição é
a\sin\theta = m\lambda,
onde agora m é um inteiro não-nulo ( m=\pm1,\pm2,\dots); o caso m=0 é o máximo central.
Aqui a=d=4{,}7\lambda. Portanto são permitidos m inteiros com |m|\le \dfrac{a}{\lambda}=4{,}7. Os inteiros possíveis (não-zero) são m=\pm1,\pm2,\pm3,\pm4. Isso dá 4 mínimos de cada lado, totalizando 8 mínimos visíveis no anteparo.
Ângulo do terceiro mínimo na fenda simples:
O terceiro mínimo corresponde a m=3, então
\sin\theta_3=\frac{3\lambda}{a}=\frac{3}{4{,}7}=0,6382979\ldots
Logo
\theta_3=\arcsin\!\left(\frac{3}{4{,}7}\right)\approx 39{,}7^\circ.

Resposta

(a) 9 franjas brilhantes e 10 franjas escuras.
(b) Distância entre máximos adjacentes \displaystyle \Delta y_{\text{máx}}=\frac{\lambda L}{d}á; distância entre mínimos adjacentes \displaystyle \Delta y_{\text{mín}}=\frac{\lambda L}{d}í.
(c) \theta_2\approx 25{,}2^\circ.
(d) \theta_{\text{3º mín}}\approx 32{,}2^\circºí.
(e) 8 mínimos no total; \theta_{3}\approx 39{,}7^\circ.

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