Se a distância entre as fendas de uma experiência de Young for multiplicada por 3, por quanto se deve alterar a distância entre a fenda dupla e o anteparo para que as distâncias entre duas franjas claras ou escuras adjacentes permaneça a mesma? (Resp: 3)

Passo 1

O enunciado pergunta: se a distância entre as fendas for multiplicada por 3, por quanto devo alterar a distância entre a fenda dupla e o anteparo para que as distâncias entre duas franjas claras (ou escuras) adjacentes permaneçam as mesmas?
Informações dadas e o que se pede:
  • A separação entre fendas inicial é d_0.
  • Essa separação passa a ser d_1 = 3d_0 (foi multiplicada por 3).
  • A distância original da fenda dupla ao anteparo é L_0.
  • Queremos encontrar a nova distância L_1 tal que o espaçamento entre franjas adjacentes não mude.
  • Precisamos manter a mesma distância entre franjas adjacentes (ou seja, o mesmo espaçamento de franjas).

Passo 2

Fórmula básica e significado das variáveis. Vou derivar a expressão do espaçamento entre franjas e explicar cada símbolo passo a passo.
Quando fazemos a experiência de Young, as franjas resultam de interferência construtiva para máximos de intensidade. A condição de máximo de ordem m (onde m é um inteiro: 0, \pm1, \pm2,\dots) é dada por
d \sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é a separação entre as duas fendas;
  • \theta é o ângulo medido a partir da normal (linha perpendicular ao anteparo) até a direção do máximo de ordem m;
  • \lambda é o comprimento de onda da luz usada;
  • m é a ordem do máximo (um número inteiro).
Agora relacionamos \theta com a posição y do máximo no anteparo (medida a partir do centro da figura de interferência) e com a distância L entre as fendas e o anteparo. Para a geometria do experimento, se y é a posição no anteparo e L é a distância fendas–anteparo, então
\tan\theta = \frac{y}{L}.
Na prática experimental usual usa-se a aproximação de pequeno ângulo (válida quando y \ll L), que implica
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta \approx \frac{y}{L}.
Substituindo \sin\theta \approx \dfrac{y}{L} na condição de máximo, obtemos
d\cdot\frac{y_m}{L} = m\lambda,
onde y_m é a posição do máximo de ordem m. Assim
y_m = \frac{m\lambda L}{d}.
O espaçamento entre duas franjas claras adjacentes (entre ordem m e m+1) é a diferença
\Delta y = y_{m+1}-y_m = \frac{(m+1)\lambda L}{d}-\frac{m\lambda L}{d} = \frac{\lambda L}{d}.
Aqui:
  • \Delta y é o espaçamento entre franjas adjacentes (mesmo para claras ou escuras, pois as escuras também têm espaçamento igual à metade ou a mesma expressão dependendo da definição, mas para máximos adjacentes a expressão acima vale).
    Resumo útil: a fórmula que usamos é
\Delta y = \frac{\lambda L}{d},
onde \lambda é fixo (mesma fonte), L e d são as quantidades que podemos variar.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao problema. Denotando por \Delta y_0 o espaçamento inicial e por \Delta y_1 o espaçamento após a mudança, temos
\Delta y_0 = \frac{\lambda L_0}{d_0}, \qquad \Delta y_1 = \frac{\lambda L_1}{d_1}.
Queremos \Delta y_1=\Delta y_0. Sabemos que d_1=3d_0. Substituindo:
\frac{\lambda L_1}{3d_0} = \frac{\lambda L_0}{d_0}.
Podemos cancelar \lambda e d_0 (assumindo \lambda\neq0 e d_0\neq0), obtendo
\frac{L_1}{3} = L_0.
Multiplicando ambos os lados por 3,
L_1 = 3L_0.
Portanto, para manter o espaçamento entre franjas igual, a distância fenda–anteparo deve ser multiplicada por 3 (triplicada).

Passo 4

Exemplo numérico curto para fixar a ideia (só para ver que funciona). Escolho \lambda = 500\\ \text{nm}, d_0 = 0{,}5\\ \text{mm} e L_0 = 1\\ \text{m}. Então
\Delta y_0 = \frac{500\times10^{-9}\cdot 1}{0{,}5\times10^{-3}} = \frac{500\times10^{-9}}{0{,}5\times10^{-3}} = 1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}=1{,}0\\ \text{mm}.
Agora uso d_1=3d_0=1{,}5\\ \text{mm} e tomo L_1=3L_0=3\\ \text{m}. Então
\Delta y_1 = \frac{500\times10^{-9}\cdot 3}{1{,}5\times10^{-3}} = \frac{1500\times10^{-9}}{1{,}5\times10^{-3}} = 1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}=1{,}0\\ \text{mm},
que é igual a \Delta y_0. Funciona direitinho.
Observação prática: essa conclusão usa a aproximação de pequeno ângulo, que continua válida se as razões y/L forem pequenas após a mudança; em muitos casos experimentais, triplicar L mantém a aproximação razoável.

Passo 5

Interpretação e incentivo breve: geometricamente, aumentar d aproxima as fendas e, portanto, “aperta” a rede de interferência (reduz \Delta y); para compensar e manter \Delta y igual, você precisa aumentar L na mesma proporção. Logo o fator é o mesmo: se d foi multiplicada por 3, L também deve ser multiplicada por 3. Você já entendeu a conta principal — manda ver nos exercícios similares, e se quiser eu te passo mais exemplos pra treinar!

Resposta

3

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