As distâncias de um ponto P aos lados A C e B C de um triângulo A B C são m e n. Mostre que, supondo P interior ao triângulo,
\overline{C P}^{2}=\left(m^{2}+n^{2}+2 m n \cdot \cos \widehat{C}\right) \cdot \operatorname{cossec}^{2} \widehat{C}
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos um triângulo ABC e um ponto interior P. As distâncias de P aos lados AC e BC valem, respectivamente, m e n. Precisamos provar que
O conteúdo usado será geometria analítica no plano, coordenadas e fórmula da distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas convenientemente: colocamos C na origem, o lado AC sobre o eixo x positivo e o lado BC na direção que forma ângulo \widehat{C} com o eixo x. Assim o eixo x é a reta AC e a reta BC tem direção \bigl(\cos\widehat{C},\sin\widehat{C}\bigr).
Passo 3
Seja D a projeção ortogonal de P em AC. Como AC é o eixo x, temos D=(x,0) e, como PD\perp AC de comprimento m, as coordenadas de P são
P=(x,m).
Passo 4
A reta BC passa por C=(0,0) com vetor diretor \bigl(\cos\widehat{C},\sin\widehat{C}\bigr). Um vetor normal a BC é \bigl(\sin\widehat{C},-\cos\widehat{C}\bigr). A distância de P a BC é