As distâncias de um ponto P aos lados A C e B C de um triângulo A B C são m e n. Mostre que, supondo P interior ao triângulo,
\overline{C P}^{2}=\left(m^{2}+n^{2}+2 m n \cdot \cos \widehat{C}\right) \cdot \operatorname{cossec}^{2} \widehat{C}

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos um triângulo ABC e um ponto interior P. As distâncias de P aos lados AC e BC valem, respectivamente, m e n. Precisamos provar que
CP^{2}=\bigl(m^{2}+n^{2}+2\,m\,n\cos\widehat{C}\bigr)\,\csc^{2}\widehat{C}.
O conteúdo usado será geometria analítica no plano, coordenadas e fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas convenientemente: colocamos C na origem, o lado AC sobre o eixo x positivo e o lado BC na direção que forma ângulo \widehat{C} com o eixo x. Assim o eixo x é a reta AC e a reta BC tem direção \bigl(\cos\widehat{C},\sin\widehat{C}\bigr).

Passo 3

Seja D a projeção ortogonal de P em AC. Como AC é o eixo x, temos D=(x,0) e, como PD\perp AC de comprimento m, as coordenadas de P são
P=(x,m).

Passo 4

A reta BC passa por C=(0,0) com vetor diretor \bigl(\cos\widehat{C},\sin\widehat{C}\bigr). Um vetor normal a BC é \bigl(\sin\widehat{C},-\cos\widehat{C}\bigr). A distância de P a BC é
\bigl|\,(x,m)\cdot(\sin\widehat{C},-\cos\widehat{C})\bigr| =\bigl|\,x\sin\widehat{C}-m\cos\widehat{C}\bigr| \;=\;n.
Como P está no interior do triângulo, o sinal é positivo, isto é,
x\sin\widehat{C}-m\cos\widehat{C}=n.

Passo 5

Da equação anterior isolamos x:
x=\frac{n+m\cos\widehat{C}}{\sin\widehat{C}}.

Passo 6

O quadrado da distância CP em coordenadas é
CP^{2}=x^{2}+m^{2} =\frac{(n+m\cos\widehat{C})^{2}}{\sin^{2}\widehat{C}}+m^{2}.
No numerador juntamos termos:
(n+m\cos C)^{2}+m^{2}\sin^{2}C =n^{2}+2mn\cos C+m^{2}\cos^{2}C+m^{2}\sin^{2}C =m^{2}+n^{2}+2mn\cos C.

Passo 7

Logo
CP^{2} =\frac{m^{2}+n^{2}+2mn\cos\widehat{C}}{\sin^{2}\widehat{C}} =\bigl(m^{2}+n^{2}+2mn\cos\widehat{C}\bigr)\,\csc^{2}\widehat{C},
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

CP^{2}=\bigl(m^{2}+n^{2}+2\,m\,n\cos\widehat{C}\bigr)\,\csc^{2}\widehat{C}.

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