Mostre que:
(a) \frac{\operatorname{sen} 30^{\circ}+\operatorname{sen} 40^{\circ}+\operatorname{sen} 50^{\circ}}{\cos 30^{\circ}+\cos 40^{\circ}+\cos 50^{\circ}}=\operatorname{tg} 40^{\circ},
(b) \operatorname{tg} 20^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 30^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 40^{\circ}=\operatorname{tg} 10^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede para provar duas identidades trigonométricas:
(a)
\frac{\operatorname{sen}30^\circ+\operatorname{sen}40^\circ+\operatorname{sen}50^\circ} {\cos30^\circ+\cos40^\circ+\cos50^\circ} =\operatorname{tg}40^\circ
(b)
\operatorname{tg}20^\circ\;\cdot\;\operatorname{tg}30^\circ\;\cdot\;\operatorname{tg}40^\circ =\operatorname{tg}10^\circ.
Para (a) vamos usar fórmulas de soma de senos e cossenos. Para (b) aplicamos a identidade do ângulo triplo para a tangente.

Passo 2

Aplicamos as fórmulas de soma de dois senos e de dois cossenos:
\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B =2\,\operatorname{sen}\frac{A+B}{2}\,\cos\frac{A-B}{2},
\cos A+\cos B =2\,\cos\frac{A+B}{2}\,\cos\frac{A-B}{2}.
Tomando A=30^\circ e B=50^\circ, obtemos
\operatorname{sen}30^\circ+\operatorname{sen}50^\circ =2\,\operatorname{sen}40^\circ\,\cos10^\circ,
\cos30^\circ+\cos50^\circ =2\,\cos40^\circ\,\cos10^\circ.

Passo 3

Somando o termo de 40^\circ em cima e embaixo e fatorando, temos
\text{num}=\bigl(\operatorname{sen}30^\circ+\operatorname{sen}50^\circ\bigr)+\operatorname{sen}40^\circ =2\,\operatorname{sen}40^\circ\,\cos10^\circ+\operatorname{sen}40^\circ =\operatorname{sen}40^\circ\bigl(2\cos10^\circ+1\bigr),
\text{den}=\bigl(\cos30^\circ+\cos50^\circ\bigr)+\cos40^\circ =2\,\cos40^\circ\,\cos10^\circ+\cos40^\circ =\cos40^\circ\bigl(2\cos10^\circ+1\bigr).
Logo
\frac{\text{num}}{\text{den}} =\frac{\operatorname{sen}40^\circ\,(2\cos10^\circ+1)} {\cos40^\circ\,(2\cos10^\circ+1)} =\frac{\operatorname{sen}40^\circ}{\cos40^\circ} =\operatorname{tg}40^\circ,
que prova (a).

Passo 4

Para (b) usamos a identidade do ângulo triplo para tangente:
\operatorname{tg}3\theta =\operatorname{tg}\theta\;\operatorname{tg}(60^\circ-\theta)\;\operatorname{tg}(60^\circ+\theta).
Tomando \theta=20^\circ, fica
\operatorname{tg}60^\circ =\operatorname{tg}20^\circ\;\operatorname{tg}40^\circ\;\operatorname{tg}80^\circ.
Sabemos que \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3 e \operatorname{tg}80^\circ=\cot10^\circ=1/\operatorname{tg}10^\circ.
Logo
\operatorname{tg}20^\circ\;\operatorname{tg}40^\circ\;\frac1{\operatorname{tg}10^\circ} =\sqrt3.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por \operatorname{tg}10^\circ e em seguida por \operatorname{tg}30^\circ=1/\sqrt3, obtemos
\operatorname{tg}20^\circ\;\operatorname{tg}40^\circ =\sqrt3\,\operatorname{tg}10^\circ \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{tg}20^\circ\;\operatorname{tg}30^\circ\;\operatorname{tg}40^\circ =\operatorname{tg}10^\circ,
o que demonstra (b).

Resposta

(a) \displaystyle\frac{\operatorname{sen}30^\circ+\operatorname{sen}40^\circ+\operatorname{sen}50^\circ}{\cos30^\circ+\cos40^\circ+\cos50^\circ}=\operatorname{tg}40^\circ
(b) \displaystyle\operatorname{tg}20^\circ\cdot\operatorname{tg}30^\circ\cdot\operatorname{tg}40^\circ=\operatorname{tg}10^\circ

Exercícios relacionados