A distribuição da área da folha do milho, no sentido horizontal, determina a intercepção de radiação por fotossíntese. Dessa forma, uma relação que bem descreve a área da folha como função da altura é dada por
f(h)=1+a_{2} h^{2}+a_{3} h^{3}
Considerando no modelo f(h)=0 para h=1 \mathrm{~m} e f(h)=c para h=0.5 \mathrm{~m}, reescreva a função com os coeficientes a_{2} e a_{3} em função de c.

Passo 1

O enunciado nos dá a função da área da folha em função da altura
f(h)=1 + a_{2}\,h^{2} + a_{3}\,h^{3}
e impõe as condições de contorno
f(1)=0 \quad\text{e}\quad f(0,5)=c.
Precisamos determinar a_{2} e a_{3} em função de c, resolvendo um sistema linear.

Passo 2

Aplicando f(1)=0 obtemos
1 + a_{2}\cdot1^{2} + a_{3}\cdot1^{3} = 0
ou seja,
1 + a_{2} + a_{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_{2} + a_{3} = -1.

Passo 3

Aplicando f(0,5)=c obtemos
1 + a_{2}\,(0,5)^{2} + a_{3}\,(0,5)^{3} = c
isto é
1 + \tfrac{a_{2}}{4} + \tfrac{a_{3}}{8} = c \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{a_{2}}{4} + \tfrac{a_{3}}{8} = c-1.
Multiplicando por 8,
2\,a_{2} + a_{3} = 8\,(c - 1).

Passo 4

Temos o sistema
\begin{cases} a_{2} + a_{3} = -1,\\\\ 2\,a_{2} + a_{3} = 8\,(c - 1). \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2\,a_{2}+a_{3}) - (a_{2}+a_{3}) = 8(c-1) - (-1) \quad\Longrightarrow\quad a_{2} = 8c - 7.
E então
a_{3} = -1 - a_{2} = -1 - (8c - 7) = 6 - 8c.

Passo 5

Substituindo esses coeficientes em f(h), a função reescrita é
f(h) = 1 + (8c - 7)\,h^{2} + (6 - 8c)\,h^{3}.

Resposta

f(h) = 1 + (8c - 7)\,h^{2} + (6 - 8c)\,h^{3}.

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