Explique por que a função f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} é descontínua no número dado a.
(a)
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x+1}, & \text { se } \quad x \neq-1, \quad \\\ 1, & \text { se } \quad x=-1 .\end{array} \quad a=-1\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x+1}, & x\neq -1,\\[6pt] 1, & x=-1, \end{cases}
e pede para mostrar que ela é descontínua em a=-1. Vamos usar o conceito de continuidade via limites.]

Passo 2

A definição de continuidade em a diz que f é contínua em a se, e somente se,
\lim_{x\to a}f(x)
existe como número real e é igual a f(a). Aqui temos a=-1 e f(-1)=1. Precisamos checar se
\lim_{x\to -1}f(x)
existe e, em caso afirmativo, se coincide com 1.

Passo 3

Para x\neq -1 vale f(x)=1/(x+1). Ao aproximar x de -1 o denominador x+1 tende a zero, então f(x) pode explodir. De fato,
\lim_{x\to -1^-}\frac{1}{x+1}=-\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to -1^+}\frac{1}{x+1}=+\infty.
Como as duas “metades” não convergem a um mesmo número finito, o limite \lim_{x\to -1}f(x) não existe como número real.

Passo 4

Se \lim_{x\to -1}f(x) não existe (nem é finito), não pode ser igual a f(-1)=1. Logo, a condição de continuidade falha em x=-1.

Resposta

A função é descontínua em x=-1 porque \lim_{x\to -1}f(x) diverge (não existe como número real) e, portanto, não coincide com f(-1)=1.

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