Qual a distribuição de carga quando o campo elétrico é dado por:
E=a r^2 r+b cos thetar theta+c phi

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico em coordenadas esféricas
E=a,r^2,r+bcosthetar,theta+c,phi
e pede a distribuição de carga, ou seja, a densidade de carga volumétrica rho(r,theta,phi). Vamos usar a forma diferencial da lei de Gauss:
nablacdotE=rhovarepsilon0,
e o fato de que, em coordenadas esféricas,
nablacdotE=1r^2partialpartial rl(r^2Err) +1rsinthetapartialpartialthetal(sintheta,Ethetar) +1rsinthetapartial Ephipartialphi

Passo 2

Calcular o termo radial:
Er=a,r^2 Longrightarrow 1r^2partialpartial rl(r^2Err) =1r^2partialpartial rl(a,r^4r) =1r^2l(4a,r^3r) =4a,r

Passo 3

Calcular o termo polar:
Etheta=bcosthetar Longrightarrow sintheta,Etheta =bsinthetacosthetar,
então
1rsinthetapartialpartialthetal(sintheta,Ethetar) =1rsinthetapartialpartialtheta!l(bsinthetacosthetarr) =br^2sinthetal(cos^2theta-sin^2thetar)

Passo 4

Calcular o termo azimutal:
Ephi=c Longrightarrow partial Ephipartialphi=0 Longrightarrow 1rsinthetapartial Ephipartialphi=0

Passo 5

Somando todos os termos temos
nablacdotE =4a,r +bl(cos^2theta-sin^2thetar)r^2sintheta +0
Pela lei de Gauss diferencial, rho=varepsilon0,nablacdotE.

Resposta

rho(r,theta) =varepsilon0l(4a,r +bl(cos^2theta-sin^2thetar)r^2sinthetar)

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