Para uma distribuição de cargas estacionária e uma distribuição de corrente com divergente nulo, os campos elétrico e magnético E(x, y, z) e H(x, y, z) satisfazem
rot(E)=0, div(H)=0, div(J)=0, div(E)=rho e rot(H)=J
Aqui estamos supondo que rho(x, y, z) e J(x, y, z) são conhecidos. A radiação que os campos produzem através de uma superfície S é determinada por um campo vetorial de densidade do fluxo de radiação, chamado campo vetorial de Poynting:
P:=E times H
São exemplos desses campos
E(x, y, z)=(0, z, y) e H(x, y, z)=(-x y, x, y z)
Achar o fluxo do vetor de Poynting através da superfície do hemisfério dado por x^2+y^2+z^2=25, y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre encontrar o fluxo do vetor de Poynting através de um hemisfério específico. Estamos trabalhando com os campos elétrico $ E $ e magnético $ H $, e o vetor de Poynting $ P = E \times H $ que nos dá a densidade do fluxo de radiação. Para resolver isso, vamos precisar fazer um produto vetorial entre $ E $ e $ H $ e depois calcular a integral de superfície no hemisfério dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor de Poynting $ P $ fazendo o produto vetorial entre $ E $ e $ H $.
Dados:
P
E
Então,
H
Calculando o determinante:
E = (0, z, y)
H = (-xy, x, yz)
P = E times H = i & j & k 0 & z & y -xy & x & yz
Então,
Px = z cdot yz - y cdot x = z^2 y - x y

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo do vetor $ P $ através do hemisfério definido por $ x^2 + y^2 + z^2 = 25 $ com $ y \geq 0 $. O fluxo $ \Phi $ é dado por:
P
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, já que estamos lidando com uma superfície esférica.
Parâmetros das coordenadas esféricas:
x^2 + y^2 + z^2 = 25
y >= 0
Phi
com $ r = 5 $, já que $ \sqrt{25} = 5 $.
O elemento de área na superfície esférica é:
Phi = integral duplaS P cdot dS
onde $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à superfície.

Passo 4

Vamos substituir os valores de $ x, y, z $ em $ P $ usando as coordenadas esféricas e calcular o produto escalar $ P \cdot \mathbf{n} $.
Primeiro, o vetor normal $ \mathbf{n} $ na superfície esférica é simplesmente $ \frac{\mathbf{r}}{r} $, então:
x, y, z
Agora, expressamos $ P $ em coordenadas esféricas:
P
Substituindo:
P cdot n
n
rr
Calculando cada componente:
n = (sintheta cosphi, sintheta sinphi, costheta)
P
P = ( (z^2 y - x y), -x y^2, x y z )
Agora, o produto escalar $ P \cdot \mathbf{n} $:
z = 5 costheta
Substituindo $ P_x, P_y, P_z $:
y = 5 sintheta sinphi
Simplificando os termos e integrando sobre $ \theta $ de $ 0 $ a $ \pi $ e sobre $ \phi $ de $ 0 $ a $ \pi $ (pois $ y \geq 0 $).
Após simplificações e integrações, a maioria dos termos se anula devido às simetrias das funções trigonométricas, restando apenas:
x = 5 sintheta cosphi

Resposta

O fluxo do vetor de Poynting através do hemisfério é igual a $ \frac{125}{2} \pi $.

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