Para uma distribuição de cargas estacionária e uma distribuição de corrente com divergente nulo, os campos elétrico e magnético
e
satisfazem
Aqui estamos supondo que
e
são conhecidos. A radiação que os campos produzem através de uma superfície
é determinada por um campo vetorial de densidade do fluxo de radiação, chamado campo vetorial de Poynting:
São exemplos desses campos
Achar o fluxo do vetor de Poynting através da superfície do hemisfério dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre encontrar o fluxo do vetor de Poynting através de um hemisfério específico. Estamos trabalhando com os campos elétrico $ E $ e magnético $ H $, e o vetor de Poynting $ P = E \times H $ que nos dá a densidade do fluxo de radiação. Para resolver isso, vamos precisar fazer um produto vetorial entre $ E $ e $ H $ e depois calcular a integral de superfície no hemisfério dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o vetor de Poynting $ P $ fazendo o produto vetorial entre $ E $ e $ H $.
Dados:
Então,
Calculando o determinante:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo do vetor $ P $ através do hemisfério definido por $ x^2 + y^2 + z^2 = 25 $ com $ y \geq 0 $. O fluxo $ \Phi $ é dado por:
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, já que estamos lidando com uma superfície esférica.
Parâmetros das coordenadas esféricas:
com $ r = 5 $, já que $ \sqrt{25} = 5 $.
O elemento de área na superfície esférica é:
onde $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à superfície.
Passo 4
Vamos substituir os valores de $ x, y, z $ em $ P $ usando as coordenadas esféricas e calcular o produto escalar $ P \cdot \mathbf{n} $.
Primeiro, o vetor normal $ \mathbf{n} $ na superfície esférica é simplesmente $ \frac{\mathbf{r}}{r} $, então:
Agora, expressamos $ P $ em coordenadas esféricas:
Substituindo:
Calculando cada componente:
Agora, o produto escalar $ P \cdot \mathbf{n} $:
Substituindo $ P_x, P_y, P_z $:
Simplificando os termos e integrando sobre $ \theta $ de $ 0 $ a $ \pi $ e sobre $ \phi $ de $ 0 $ a $ \pi $ (pois $ y \geq 0 $).
Após simplificações e integrações, a maioria dos termos se anula devido às simetrias das funções trigonométricas, restando apenas:
Resposta
O fluxo do vetor de Poynting através do hemisfério é igual a $ \frac{125}{2} \pi $.