Calcular a integral de linha ointC F cdot d r, com C orientado no sentido anti-horário quando visto de cima, sendo:
F(x, y, z)=(y+z, x+z, x+y) e C é a curva de interseção do plano y=z com o cilindro x^2+y^2=2 y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha ointC F cdot d r, onde F(x, y, z) = (y+z, x+z, x+y). A curva C é a interseção do plano y = z com o cilindro x^2 + y^2 = 2y, e está orientada no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva C. Ela é a interseção entre o plano y = z e o cilindro x^2 + y^2 = 2y. Vamos simplificar o cilindro para facilitar a parametrização. Reescrevendo a equação do cilindro:
x^2 + y^2 = 2y x^2 + y^2 - 2y = 0 x^2 + (y - 1)^2 = 1
Isso mostra que o cilindro é, na verdade, um cilindro circular com raio 1, centrado na linha y = 1.

Passo 3

Agora, sabendo que y = z, podemos substituir z por y na parametrização. Então, a curva C é um círculo no espaço onde y = z. Vamos parametrizar essa curva usando um parâmetro theta, que vai de 0 a 2pi para fechar o círculo.
A parametrização fica:
x = cos theta y = 1 + sin theta z = y = 1 + sin theta
Aqui, usamos cos theta e sin theta porque estamos lidando com um círculo de raio 1.

Passo 4

Com a parametrização em mãos, vamos calcular o vetor derivada dr/dtheta para substituir na integral. Calculando as derivadas:
dxdtheta = -sin theta dydtheta = cos theta dzdtheta = cos theta
Então, dr = (-sin theta, cos theta, cos theta) dtheta.

Passo 5

Agora, vamos substituir a parametrização na função vetorial F(x, y, z):
F(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y) F(theta) = ( (1 + sin theta) + (1 + sin theta), cos theta + (1 + sin theta), cos theta + (1 + sin theta) ) F(theta) = (2 + 2sin theta, 1 + cos theta + sin theta, 1 + cos theta + sin theta)

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = [2 + 2sin theta] cdot (-sin theta) + [1 + cos theta + sin theta] cdot (cos theta) + [1 + cos theta + sin theta] cdot (cos theta) = (-2sin theta - 2sin^2 theta) + ( cos theta + cos^2 theta + sin theta cos theta ) + ( cos theta + cos^2 theta + sin theta cos theta ) = -2sin theta - 2sin^2 theta + 2cos theta + 2cos^2 theta + 2sin theta cos theta

Passo 7

Agora, integrando de 0 a 2pi:
ointC F cdot dr = integral0^2pi ( -2sin theta - 2sin^2 theta + 2cos theta + 2cos^2 theta + 2sin theta cos theta ) dtheta
Vamos resolver cada termo separadamente:
  1. integral0^2pi -2sin theta , dtheta = 0 (pois a integral de sin theta em um período completo é zero)
  2. integral0^2pi -2sin^2 theta , dtheta = -2 cdot pi (pois integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi)
  3. integral0^2pi 2cos theta , dtheta = 0 (mesmo motivo do primeiro termo)
  4. integral0^2pi 2cos^2 theta , dtheta = 2pi (pois integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi)
  5. integral0^2pi 2sin theta cos theta , dtheta = 0 (pois a integral de sin(2theta) em um período completo é zero)

Passo 8

Somando todos os termos:
0 - 2pi + 0 + 2pi + 0 = 0

Resposta

A integral de linha ointC F cdot d r é igual a zero.

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