Calcular a integral de linha , com orientado no sentido anti-horário quando visto de cima, sendo: e é a curva de interseção do plano com o cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde . A curva é a interseção do plano com o cilindro , e está orientada no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva . Ela é a interseção entre o plano e o cilindro . Vamos simplificar o cilindro para facilitar a parametrização. Reescrevendo a equação do cilindro:
Isso mostra que o cilindro é, na verdade, um cilindro circular com raio 1, centrado na linha .
Passo 3
Agora, sabendo que , podemos substituir por na parametrização. Então, a curva é um círculo no espaço onde . Vamos parametrizar essa curva usando um parâmetro , que vai de a para fechar o círculo.
A parametrização fica:
Aqui, usamos cos theta e sin theta porque estamos lidando com um círculo de raio 1.
Passo 4
Com a parametrização em mãos, vamos calcular o vetor derivada dr/dtheta para substituir na integral. Calculando as derivadas:
dxdtheta = -sin theta dydtheta = cos theta dzdtheta = cos theta
Então, dr = (-sin theta, cos theta, cos theta) dtheta.
Passo 5
Agora, vamos substituir a parametrização na função vetorial F(x, y, z):
F(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y) F(theta) = ( (1 + sin theta) + (1 + sin theta), cos theta + (1 + sin theta), cos theta + (1 + sin theta) ) F(theta) = (2 + 2sin theta, 1 + cos theta + sin theta, 1 + cos theta + sin theta)
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = [2 + 2sin theta] cdot (-sin theta) + [1 + cos theta + sin theta] cdot (cos theta) + [1 + cos theta + sin theta] cdot (cos theta) = (-2sin theta - 2sin^2 theta) + ( cos theta + cos^2 theta + sin theta cos theta ) + ( cos theta + cos^2 theta + sin theta cos theta ) = -2sin theta - 2sin^2 theta + 2cos theta + 2cos^2 theta + 2sin theta cos theta
Passo 7
Agora, integrando de 0 a 2pi:
ointC F cdot dr = integral0^2pi ( -2sin theta - 2sin^2 theta + 2cos theta + 2cos^2 theta + 2sin theta cos theta ) dtheta
Vamos resolver cada termo separadamente:
integral0^2pi -2sin theta , dtheta = 0 (pois a integral de sin theta em um período completo é zero)